複素解析・リーマン面の問題

零点をくくり出す

$a=\frac{1}{2}$ とし、$\mathbb{D}$ の自己同型
$$\phi (z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}=\frac{z-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}z}$$
を考える。$\phi$ は $\overline{\mathbb{D}}$ の近くで正則で、$|z|=1$ のとき $|\phi (z)|=1$ を満たし、$\mathbb{D}$ 内の零点は $z=\frac{1}{2}$ だけ（1 位）である。

$f$ は $z=0$ と $z=\frac{1}{2}$ で $0$ になるので、
$$g(z)=\frac{f(z)}{z\phi (z)}$$
は除去可能特異点を除けば $\mathbb{D}$ で正則な関数に拡張できる。

最大値原理

$0<r<1$ を $r>\frac{1}{2}$ となるようにとる。$|z|=r$ 上では $|f(z)|<1$ なので
$$|g(z)|\le \frac{1}{r{\min }_{|z|=r}|\phi (z)|}$$
である。最大値原理より、この評価は $|z|\le r$ 全体で成り立つ。$r\to 1$ とすると ${\min }_{|z|=r}|\phi (z)|\to 1$ なので、すべての $z\in \mathbb{D}$ で $|g(z)|\le 1$ となる。よって
$$|f(z)|\le |z||\phi (z)|(z\in \mathbb{D})$$
である。

値の計算

$z=-\frac{1}{3}$ を代入すると
$$\phi \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{6}}=\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{7}{6}}=-\frac{5}{7}$$
なので
$$\left|f\left(-\frac{1}{3}\right)\right|\le \frac{1}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{5}{21}$$

等号の成立

$f(z)=z\phi (z)=\frac{z\left(z-\frac{1}{2}\right)}{1-\frac{1}{2}z}$ は $\mathbb{D}$ で正則で、$|f(z)|<|z|\cdot 1<1$ を満たし、$f(0)=f(\frac{1}{2})=0$ である。このとき $\left|f\left(-\frac{1}{3}\right)\right|=\frac{5}{21}$ となる。

よって最大値は $\frac{5}{21}$ である。

$f(0)=f(1/2)=0$, $|f|<1$ より、シュワルツの補題の拡張（零点を割る）から $f(z)=z\cdot \frac{z-\frac{1}{2}}{1-\frac{z}{2}}\cdot g(z)$ と書ける。ここで $g$ は $\mathbb{D}$ 上正則で $|g|\le 1$。これは、$B(z)=z\cdot \frac{z-1/2}{1-z/2}$ が $\mathbb{D}$ 上の有限ブラシュケ積（境界 $|z|=1$ で $|B|=1$）であり、$f/B$ が正則で、最大値の原理より境界付近で $|f/B|\le 1$ となることによる。

$z=-\frac{1}{3}$ で評価する。$|z|=\frac{1}{3}$、
$\left|\frac{z-\frac{1}{2}}{1-\frac{z}{2}}\right|=\frac{\left|-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|}{1+\frac{1}{6}}=\frac{5/6}{7/6}=\frac{5}{7}$。
よって $|f(-1/3)|\le \frac{1}{3}\cdot \frac{5}{7}\cdot |g(-1/3)|\le \frac{5}{21}$。

等号は $f=B$（$g\equiv 1$）のとき成り立つ。$|B(z)|<1$（$z\in \mathbb{D}$）、$B(0)=B(1/2)=0$ なので条件をすべて満たす。したがって最大値は $\frac{5}{21}$。

検算: $B(-1/3)=(-\frac{1}{3})\cdot \frac{-5/6}{7/6}=(-\frac{1}{3})(-\frac{5}{7})=\frac{5}{21}\approx 0.238$。