複素解析・リーマン面の問題

方針. 零点 $0$ と $a=\frac{i}{2}$ をブラシュケ因子として取り出し、残りの関数にシュワルツの補題（最大値原理）を使う。

1. 零点を取り出す. $a=\frac{i}{2}$ なので $\bar{a}=-\frac{i}{2}$ であり、
$$B(z)=z\cdot \frac{z-\frac{i}{2}}{1+\frac{i}{2}z}$$
とおく。$B$ は $\overline{\mathbb{D}}$ の近くで正則で、$|z|=1$ のとき $\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|=1$ だから $|B(z)|=1$ である。また $B$ の $\mathbb{D}$ 内の零点は $0$ と $\frac{i}{2}$（どちらも 1 位）だけである。

$f$ は $0$ と $\frac{i}{2}$ で $0$ になるので、$g(z)=\frac{f(z)}{B(z)}$ はこの 2 点で除去可能特異点をもち、$\mathbb{D}$ 上の正則関数に延長できる。

2. $|g|\le 1$ を示す. $0<r<1$ を $1$ に近くとる。円 $|z|=r$ 上で $|f(z)|<1$ であり、$r\to 1$ のとき $|B(z)|$ は円 $|z|=r$ 上で一様に $1$ に近づく。最大値原理により $|z|\le r$ で
$$|g(z)|\le \underset{|z|=r}{\max }\frac{|f(z)|}{|B(z)|}\le \frac{1}{{\min }_{|z|=r}|B(z)|}$$
であり、$r\to 1$ とすると右辺は $1$ に近づく。よって $\mathbb{D}$ 全体で $|g(z)|\le 1$、すなわち $|f(z)|\le |B(z)|$ である。

3. $z=\frac{1}{2}$ での値を計算する.
$$\left|B\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left|\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\right|}{\left|1+\frac{i}{4}\right|}.$$
ここで $\left|\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\right|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\left|1+\frac{i}{4}\right|=\sqrt{1+\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{17}}{4}$ なので
$$\left|B\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{34}}{17}.$$
したがって $\left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right|\le \frac{\sqrt{34}}{17}$ である。

4. 等号が成り立つ例. $f(z)=B(z)=z\cdot \frac{z-\frac{i}{2}}{1+\frac{i}{2}z}$ は $\mathbb{D}$ 上正則で、$\mathbb{D}$ 内で $|B(z)|<1$（最大値原理と $|z|=1$ で $|B|=1$、$B$ は定数でないことから）であり、$B(0)=B\left(\frac{i}{2}\right)=0$ を満たし、$\left|B\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\frac{\sqrt{34}}{17}$ となる。

よって求める最大値は $\frac{\sqrt{34}}{17}$ である。

$f(0)=0$ かつ $f(i/2)=0$ なので、シュワルツ・ピックの補題（ブラシュケ因子による除去）より $f(z)=z\cdot \frac{z-a}{1-\bar{a}z}g(z)$、$a=\frac{i}{2}$、$g$ は $\mathbb{D}$ 上正則で $|g|\le 1$ と書ける。実際、$B(z)=z\frac{z-a}{1-\bar{a}z}$ とおくと、$f/B$ は $\mathbb{D}$ 上正則（零点は除去可能特異点）で、$|z|=r\to 1$ で境界での $|f/B|\le 1$ から最大値原理より $|f/B|\le 1$ となる。\n\n$z=\frac{1}{2}$ で評価する。$\bar{a}=-\frac{i}{2}$ より\n$$|B(1/2)|=\frac{1}{2}\cdot \frac{|1/2-i/2|}{|1+i/4|}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{17}/4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{34}}{17}.$$\nよって $|f(1/2)|=|B(1/2)||g(1/2)|\le \frac{\sqrt{34}}{17}$。\n\n等号は $f=B$（$g\equiv 1$）のとき成り立つ。$B$ は $\mathbb{D}$ 上正則で $|B(z)|<1$（ブラシュケ積は開円板内で絶対値が 1 未満）、$B(0)=0$、$B(i/2)=0$ を満たすので条件を満たす。したがって最大値は $\frac{\sqrt{34}}{17}\approx 0.343$。\n\n検算: $|1/2-i/2{|}^2=1/2$、$|1+i/4{|}^2=17/16$ なので $|B{|}^2=\frac{1}{4}\cdot \frac{1/2}{17/16}=\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{17}=\frac{2}{17}$、$|B|=\sqrt{2/17}=\sqrt{34}/17$。一致。