複素解析・リーマン面の問題

$f(z)/z$ への帰着. $f(0)=0$ なので $g(z)=\frac{f(z)}{z}$（$z\ne 0$）, $g(0)=f^{\prime }(0)$ とおくと、$g$ は $\mathbb{D}$ 上で正則である（除去可能特異点）。シュワルツの補題の証明と同様に、$0<r<1$ について $|z|=r$ 上で $|g(z)|\le \frac{1}{r}$ なので、最大値原理より $|z|\le r$ で $|g|\le \frac{1}{r}$。$r\to 1$ として $\mathbb{D}$ 上で $|g|\le 1$ である。

もし $|g(z_0)|=1$ となる $z_0\in \mathbb{D}$ があれば、最大値原理により $g$ は絶対値 $1$ の定数になるが、$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}$ なので矛盾する。よって $g:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ であり、$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}$, $g(0)=f^{\prime }(0)$ である。

シュワルツ・ピックの補題. 正則写像 $g:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ に対して $$\left|\frac{g(a)-g(b)}{1-\overline{g(b)}g(a)}\right|\le \left|\frac{a-b}{1-\overline{b}a}\right|$$ が成り立つ。$a=0,b=\frac{1}{2}$ とすると、$w=g(0)$ は $$\left|\frac{w-\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}w}\right|\le \frac{1}{2}(\ast )$$ を満たす。

$|w|$ の最大値. $\psi (w)=\frac{w-\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}w}$ は $\mathbb{D}$ の自己同型で、実数の係数をもつので、$(\ast )$ を満たす $w$ の集合 ${\psi }^{-1}\left(\left\{|\zeta |\le \frac{1}{2}\right\}\right)$ は実軸について対称な閉円板である。この円板と実軸の交わりの端点は $\psi (w)=\pm \frac{1}{2}$ を解いて
- $\psi (w)=\frac{1}{2}$: $w-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}w$ より $\frac{4}{3}w=\frac{7}{6}$, $w=\frac{7}{8}$
- $\psi (w)=-\frac{1}{2}$: $w-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}w$ より $\frac{2}{3}w=\frac{1}{6}$, $w=\frac{1}{4}$

よって円板は直径 $\left[\frac{1}{4},\frac{7}{8}\right]$ をもつ円板で、中心が正の実軸上にあるから、その上での $|w|$ の最大値は右端の $\frac{7}{8}$ である。したがって $|f^{\prime }(0)|=|g(0)|\le \frac{7}{8}$。

等号の成立. $g(z)=\frac{\frac{7}{8}-z}{1-\frac{7}{8}z}$ は $\mathbb{D}$ の自己同型で $g(0)=\frac{7}{8}$, $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3/8}{9/16}=\frac{2}{3}$。そこで $$f(z)=z\cdot \frac{7-8z}{8-7z}$$ とおくと、$|f(z)|\le |z|<1$ だから $f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ で、$f(0)=0$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{9/2}=\frac{1}{3}$, $f^{\prime }(0)=\frac{7}{8}$ となる。

以上より、最大値は $\frac{7}{8}$ である。

$f(0)=0$ なのでシュワルツの補題から $f(z)=zg(z)$、$g:\mathbb{D}\to \overline{\mathbb{D}}$ 正則（最大値の原理）。$g(0)=f^{\prime }(0)$、$g(1/2)=2f(1/2)\cdot \dots$ ではなく $f(1/2)=\frac{1}{2}g(1/2)=\frac{1}{3}$ より $g(1/2)=\frac{2}{3}$。$|g(1/2)|<1$ なので $g$ は定数でない限り $\mathbb{D}\to \mathbb{D}$（定数 $\frac{2}{3}$ も許される）。

シュワルツ・ピックの補題より、擬双曲距離 $\rho (a,b)=\left|\frac{a-b}{1-\bar{a}b}\right|$ について $\rho (g(0),g(1/2))\le \rho (0,\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$。$c=g(0)$ とおくと
$$\left|\frac{c-\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}\bar{c}}\right|\le \frac{1}{2}.$$
これは $\frac{2}{3}$ を中心の擬双曲円板で、実軸上の端点は $\frac{c-2/3}{1-2c/3}=\pm \frac{1}{2}$ から: $+$: $c-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}-\frac{c}{3}$、$\frac{4}{3}c=\frac{7}{6}$、$c=\frac{7}{8}$。$-$: $c-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{c}{3}$、$\frac{2}{3}c=\frac{1}{6}$、$c=\frac{1}{4}$。この領域は（ユークリッドの）円板で、実軸上の直径の端点が $\frac{1}{4},\frac{7}{8}$ なので中心 $\frac{9}{16}$、半径 $\frac{5}{16}$。原点から最も遠い点は $\frac{7}{8}$ で、$|c|\le \frac{7}{8}$。

等号: $g(z)=\frac{z+\frac{?}{}}{}$ ではなく、${\phi }_a(z)=\frac{z-a}{1-az}$ を用いて $g={\phi }_{-7/8}\circ (\dots )$ と書く代わりに、$g$ を実係数の自己同型 $g(z)=\frac{-z+\alpha }{1-\alpha z}\cdot$ の形で与える。$g(z)=\frac{\alpha -kz}{1-\alpha kz}$ とおき（$|\alpha |<1$, $|k|\le 1$）と複雑なので、直接確かめる。$g(z)=\frac{7/8-sz}{1-\frac{7}{8}sz}$（$s$ は実数）で $g(1/2)=\frac{7/8-s/2}{1-7s/16}=\frac{2}{3}$ を解くと $\frac{21}{24}-\frac{s}{2}\cdot \dots$ → $3(\frac{7}{8}-\frac{s}{2})=2(1-\frac{7s}{16})$、$\frac{21}{8}-\frac{3s}{2}=2-\frac{7s}{8}$、$\frac{5}{8}=\frac{5s}{8}$、$s=1$。つまり $g(z)=\frac{7/8-z}{1-\frac{7}{8}z}$ は単位円板の自己同型で $g(0)=\frac{7}{8}$、$g(1/2)=\frac{3/8}{9/16}=\frac{2}{3}$。これで $f(z)=zg(z)$ は $f(0)=0$, $f(1/2)=\frac{1}{3}$, $f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ をみたし、$f^{\prime }(0)=g(0)=\frac{7}{8}$。

よって $|f^{\prime }(0)|$ の最大値は $\frac{7}{8}$。