複素解析・リーマン面の問題

ブラシュケ積による分解. $a\in \mathbb{D}$ に対し ${\phi }_a(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a}z}$ とおき、
$$B(z)={\phi }_{1/2}(z){\phi }_{-1/3}(z)=\frac{z-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}z}\cdot \frac{z+\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}z}$$
とする。$B$ は $\overline{\mathbb{D}}$ を含む領域で正則で、$|z|=1$ 上で $|B(z)|=1$、$\mathbb{D}$ 内の零点は $\frac{1}{2},-\frac{1}{3}$（いずれも 1 位）だけである。

$f\in \mathcal{F}$ とすると、$f$ は $\frac{1}{2},-\frac{1}{3}$ で $0$ になるので、$g=f/B$ はこれらの点が除去可能特異点となり、$\mathbb{D}$ 上の正則関数に拡張される。$0<r<1$ に対し、$|z|=r$ 上で $|g(z)|\le \frac{1}{{\min }_{|z|=r}|B(z)|}$ であり、最大値原理より $|z|\le r$ でも同じ評価が成り立つ。$r\to 1$ のとき右辺は $1$ に収束するので、$|g(z)|\le 1$（$z\in \mathbb{D}$）である。逆に、$|g|\le 1$ を満たす $\mathbb{D}$ 上の正則関数 $g$ に対して $f=Bg$ は $|f|\le |B|<1$ を満たし、$f\in \mathcal{F}$ となる。

$f^{\prime }(0)$ の計算. ${\phi }_a(0)=-a$, ${\phi }_a^{\prime }(z)=\frac{1-|a{|}^2}{(1-\bar{a}z{)}^2}$ より ${\phi }_a^{\prime }(0)=1-|a{|}^2$ である。よって
$${\phi }_{1/2}(0)=-\frac{1}{2},{\phi }_{1/2}^{\prime }(0)=\frac{3}{4},{\phi }_{-1/3}(0)=\frac{1}{3},{\phi }_{-1/3}^{\prime }(0)=\frac{8}{9}$$
であり、
$$B(0)=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{6},$$
$$B^{\prime }(0)={\phi }_{1/2}^{\prime }(0){\phi }_{-1/3}(0)+{\phi }_{1/2}(0){\phi }_{-1/3}^{\prime }(0)=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{8}{9}=\frac{1}{4}-\frac{4}{9}=-\frac{7}{36}.$$
したがって
$$f^{\prime }(0)=B^{\prime }(0)g(0)+B(0)g^{\prime }(0)=-\left(\frac{7}{36}g(0)+\frac{1}{6}{g}^{\prime }(0)\right).$$

評価. $|g|\le 1$ の正則関数に対して、シュワルツ・ピックの補題（$g$ が $|g|=1$ の定数のときは $g^{\prime }=0$ なので自明）より
$$|g^{\prime }(0)|\le 1-|g(0){|}^2$$
が成り立つ。$t=|g(0)|\in [0,1]$ とおくと、三角不等式より
$$|f^{\prime }(0)|\le \frac{7}{36}t+\frac{1}{6}(1-t^2)=:h(t).$$
$h^{\prime }(t)=\frac{7}{36}-\frac{t}{3}$ より、$h$ は $t=\frac{7}{12}\in [0,1]$ で最大となり、
$$h\left(\frac{7}{12}\right)=\frac{7}{36}\cdot \frac{7}{12}+\frac{1}{6}\left(1-\frac{49}{144}\right)=\frac{49}{432}+\frac{95}{864}=\frac{98+95}{864}=\frac{193}{864}.$$
（端点では $h(0)=\frac{1}{6}=\frac{144}{864}$, $h(1)=\frac{7}{36}=\frac{168}{864}$ で、これより小さい。）

等号の成立. $t=\frac{7}{12}$ として
$$g(z)=\frac{z+t}{1+tz}$$
とおくと、$g$ は $\mathbb{D}$ を $\mathbb{D}$ に写す正則関数で、$g(0)=t$, $g^{\prime }(0)=1-t^2$（ともに正の実数）である。よって $f=Bg\in \mathcal{F}$ について
$$f^{\prime }(0)=-\left(\frac{7}{36}t+\frac{1}{6}(1-t^2)\right)=-\frac{193}{864}$$
となり、$|f^{\prime }(0)|=\frac{193}{864}$ が実現される。

したがって求める最大値は $\frac{193}{864}$ である。

$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{3}$ とし、$B(z)=\frac{z-a}{1-az}\cdot \frac{z-b}{1-bz}$ とおく。$f\in \mathcal{F}$ なら $f$ は $a,b$ で零点をもつので、$h=f/B$ は $\mathbb{D}$ 上で正則（除去可能特異点）で、$|B|\to 1$ ($|z|\to 1$) と最大値原理から $|h|\le 1$。逆に $|h|\le 1$ なる正則 $h$ に対し $f=Bh$ は $\mathcal{F}$ の条件を満たす（$|h|\equiv 1$ の定数のときは $|f|<1$ が $\mathbb{D}$ 内で成り立つ。$|B|<1$ のため）。

$f^{\prime }(0)=B^{\prime }(0)h(0)+B(0)h^{\prime }(0)$。

$B(0)=ab=-\frac{1}{6}$。$B$ の対数微分を原点で計算すると、各因子 $\frac{z-c}{1-cz}$ について $\frac{d}{dz}\log$ の原点での値は $-\frac{1}{c}+c$ なので
$\frac{B^{\prime }(0)}{B(0)}=\left(-2+\frac{1}{2}\right)+\left(3-\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{6}$。よって $B^{\prime }(0)=-\frac{7}{36}$。

シュワルツ・ピックの補題より $|h^{\prime }(0)|\le 1-|h(0){|}^2$。$t=|h(0)|\in [0,1]$ とおくと
$|f^{\prime }(0)|\le \frac{7}{36}t+\frac{1}{6}(1-t^2)=\frac{1}{6}\left(1+\frac{7}{6}t-t^2\right)$。
$t=\frac{7}{12}$ のとき最大で、値は $\frac{1}{6}\left(1+\frac{49}{144}\right)=\frac{193}{864}$。

達成: $h(z)=\frac{z+t}{1+tz}$, $t=\frac{7}{12}$ とすると $h(0)=t$, $h^{\prime }(0)=1-t^2>0$ で、$B^{\prime }(0)h(0)$ と $B(0)h^{\prime }(0)$ はともに負なので偏角がそろい、$|f^{\prime }(0)|=\frac{7}{36}\cdot \frac{7}{12}+\frac{1}{6}\cdot \frac{95}{144}=\frac{49}{432}+\frac{95}{864}=\frac{98+95}{864}=\frac{193}{864}$。

検算: $\frac{7}{36}\cdot \frac{7}{12}=\frac{49}{432}=\frac{98}{864}$、$1-\frac{49}{144}=\frac{95}{144}$、$\frac{1}{6}\cdot \frac{95}{144}=\frac{95}{864}$。合計 $\frac{193}{864}$。