複素解析・リーマン面の問題

境界の円の交点と一次分数変換

円 $|z|=1$ と $|z-1|=1$ の交点は
$$p=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=e^{i\pi /3},\bar{p}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=e^{-i\pi /3}$$
である。$p$ を $0$ に、$\bar{p}$ を $\infty$ に送る一次分数変換として
$$g(z)=-\frac{z-p}{z-\bar{p}}$$
をとる。$g$ は円（または直線）を円（または直線）に写し、$p\mapsto 0$、$\bar{p}\mapsto \infty$ である。したがって $p,\bar{p}$ を通る二つの円弧は、$0$ から出る半直線に写る。

- $D$ の境界のうち円 $|z|=1$ 上の弧は $z=1$ を通る。$1-p=e^{-i\pi /3}$、$1-\bar{p}=e^{i\pi /3}$ より
$$g(1)=-e^{-2i\pi /3}=e^{i\pi /3}$$
となる。よってこの弧は半直線 $\arg w=\pi /3$ に写る。
- 円 $|z-1|=1$ 上の弧は $z=0$ を通る。
$$g(0)=-\frac{p}{\bar{p}}=-e^{2i\pi /3}=e^{-i\pi /3}$$
となる。よってこの弧は半直線 $\arg w=-\pi /3$ に写る。
- 内点 $z_0=\frac{1}{2}$ については
$$g\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{\sqrt{3}}{2}i}=1$$
である。

以上より、$g$ は $D$ を角領域 $S=\{w\ne 0\mid |\arg w|<\pi /3\}$ の上へ等角に写す。

角領域を半平面・円板へ写す

主枝による $G(z)=g(z{)}^{3/2}$ は $D$ を右半平面 $\{\mathrm{Re}\zeta >0\}$ へ全単射に写し、$G(z_0)=1$ を満たす。

さらに $\zeta \mapsto \frac{\zeta -1}{\zeta +1}$ は右半平面を $\mathbb{D}$ へ写し、$1\mapsto 0$ である。そこで
$$F(z)=\frac{G(z)-1}{G(z)+1}$$
とおくと、$F:D\to \mathbb{D}$ は正則な全単射で、$F(z_0)=0$ となる。

微分係数の計算

$g$ の導関数は
$$g^{\prime }(z)=-\frac{(z-\bar{p})-(z-p)}{(z-\bar{p}{)}^2}=-\frac{p-\bar{p}}{(z-\bar{p}{)}^2}$$
である。$p-\bar{p}=\sqrt{3}i$、${\left(z_0-\bar{p}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^2=-\frac{3}{4}$ を代入すると
$$g^{\prime }(z_0)=-\frac{\sqrt{3}i}{-3/4}=\frac{4i}{\sqrt{3}}$$
となる。$g(z_0)=1$ なので
$$G^{\prime }(z_0)=\frac{3}{2}g(z_0{)}^{1/2}{g}^{\prime }(z_0)=\frac{3}{2}\cdot \frac{4i}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}i$$
である。また $\frac{d}{d\zeta }\frac{\zeta -1}{\zeta +1}=\frac{2}{(\zeta +1{)}^2}$ は $\zeta =1$ で $\frac{1}{2}$ になるから
$$F^{\prime }(z_0)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}i=\sqrt{3}i$$
を得る。

正規化と一意性

$f=-iF$ とおくと、$f(z_0)=0$ かつ $f^{\prime }(z_0)=\sqrt{3}>0$ となる。

一意性は次のように示せる。条件を満たす別の写像 $f_1$ があれば、$f_1\circ f^{-1}$ は $\mathbb{D}$ の自己同型で $0$ を固定する。シュワルツの補題よりこれは回転 $w\mapsto e^{i\theta }w$ であり、$f^{\prime }$ と $f_1^{\prime }$ がともに正であることから $\theta =0$ となる。

よって
$$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}$$
である。

（検算：$D$ は円板 $|z-\frac{1}{2}|<\frac{1}{2}$ を含み、円板 $|z-\frac{1}{2}|<\frac{\sqrt{3}}{2}$ に含まれる。シュワルツの補題から $\frac{2}{\sqrt{3}}\le f^{\prime }(\frac{1}{2})\le 2$ となり、$\sqrt{3}$ はこの範囲にある。）

二つの円 $|z|=1$, $|z-1|=1$ の交点は $a=e^{i\pi /3}$, $b=e^{-i\pi /3}$ である。レンズ形領域の頂点 $a,b$ での内角は、中心間の距離が半径に等しいことから $2\pi /3$ である。

1. $\zeta =\frac{z-a}{z-b}$ とおく。これは頂点 $a,b$ を $0,\infty$ に送る。$D$ は頂点 $0$、開き角 $2\pi /3$ の角領域に写る。
2. $z=1/2$ のとき $\zeta =\frac{-i\sqrt{3}/2}{i\sqrt{3}/2}=-1$ である。$D$ の対称性から、角領域は負の実軸に関して対称である。
3. $\eta =-\zeta$ とおくと、像は $|\arg \eta |<\pi /3$ となり、$z=1/2$ は $\eta =1$ に対応する。
4. $u={\eta }^{3/2}$ により、角領域は右半平面 $\mathrm{Re}u>0$ に写り、$\eta =1$ は $u=1$ に対応する。
5. $w=\frac{u-1}{u+1}$ により、右半平面は単位円板に写り、$u=1$ は $w=0$ に対応する。

各段の微分を $z=1/2$ で求める。
- $\frac{d\eta }{dz}=-\frac{a-b}{(z-b{)}^2}$ であり、$a-b=i\sqrt{3}$、$(z-b{)}^2=(i\sqrt{3}/2{)}^2=-3/4$ なので、$\frac{d\eta }{dz}=\frac{4i}{\sqrt{3}}$。
- $\frac{du}{d\eta }=\frac{3}{2}$。
- $\frac{dw}{du}=\frac{2}{(u+1{)}^2}=\frac{1}{2}$。

よって合成写像の微分は $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4i}{\sqrt{3}}=i\sqrt{3}$ である。

絶対値は $\sqrt{3}$ である。$f^{\prime }(1/2)>0$ とするには定数の位相因子を掛ければよく、絶対値は変わらない。したがって $f^{\prime }(1/2)=\sqrt{3}$。

検算：$1/2$ から境界までの距離は $1/2$ である。共形半径は、この距離以上でその 2 倍以下となる。よって $f^{\prime }(1/2)$ は 1 以上 2 以下であり、$\sqrt{3}\approx 1.73$ はこれを満たす。