複素解析・リーマン面の問題

1. 同心円への変換

$-1<a<1$ を満たす実数 $a$ に対して
$${\phi }_a(z)=\frac{z-a}{1-az}$$
とおきます。これは単位円 $C_0$ を自身に、開単位円板を自身に、実軸を自身に写す一次分数変換です。

$C_1$ は実軸に関して対称な円なので、その像 ${\phi }_a(C_1)$ も実軸に関して対称な円になります。$a$ をうまく選べば、像は原点中心の円 $|w|=\rho$（$0<\rho <1$）にできます。これは $C_0,C_1$ の共通の対称点の組（実軸上にある）の一方を $0$ に送ればよいからで、よく知られた事実です。

極 $1/a$ は閉単位円板の外にあるので、${\phi }_a$ は $A$ を閉円環 $\{\rho \le |w|\le 1\}$ の上へ同相に写します。さらに、$A$ に含まれる閉円板を（直線ではなく）閉円板に写し、接することと内部が交わらないことを保ちます。したがって $D_k$ の像 $D_k^{\prime }$ も、円環について条件 (i)〜(iii) を満たします。

2. 同心円環での条件

閉円環 $\rho \le |w|\le 1$ に含まれ、2 つの境界円の両方に接する閉円板の中心を原点から距離 $t$、半径を $s$ とします。外円に内接し、内円に外接するので
$$t+s=1,t-s=\rho$$
となり、
$$s=\frac{1-\rho }{2},t=\frac{1+\rho }{2}$$
です。よって 6 個の $D_k^{\prime }$ はすべて合同で、中心は円 $|w|=t$ 上にあります。

2 つの円板が接するのは、中心どうしの距離が $2s$ になるとき、つまり原点から見た中心の角度の差が $2\theta$ のときです。ここで $\theta$ は
$$\sin \theta =\frac{s}{t}=\frac{1-\rho }{1+\rho }$$
で定まります。また、内部が交わらないことは、角度の差が $2\theta$ 以上であることと同値です。

(ii) より、各中心から角度 $\pm 2\theta$ の位置の 2 つにそれぞれ別の中心があります（位置はこの 2 つしかありません）。したがって中心の集合は、角度 $2\theta$ の回転で閉じています。

この回転の軌道の大きさを $m$ とすると、$2m\theta =2\pi j$（$j$ は正の整数）です。$j\ge 2$ だと隣り合う点の間隔が $2\pi /m=2\theta /j<2\theta$ となり、(iii) に反します。よって $j=1$ です。

また、間隔 $2\theta$ で円周を一周する軌道の外に別の点があると、その点は軌道上のある点から角度 $\theta$ 以内にあり、やはり (iii) に反します。よって中心の集合はただ 1 つの軌道で、$m=6$、$\theta =\frac{\pi }{6}$ です。したがって
$$\frac{1-\rho }{1+\rho }=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$
となり、$\rho =\frac{1}{3}$ です。

3. 複比による不変量

$C_0$ と $C_1$ は実軸と 4 点 $x_1=-1,x_2=\frac{1}{2}-r,x_3=\frac{1}{2}+r,x_4=1$ で交わります。これらは ${\phi }_a$（実係数で、実軸上で単調増加）により、順に $-1,-\rho ,\rho ,1$ に写ります。複比
$$K=\frac{(x_3-x_1)(x_4-x_2)}{(x_3-x_2)(x_4-x_1)}$$
は一次分数変換で不変です。

像の側で計算すると
$$K=\frac{(\rho +1)(1+\rho )}{2\rho \cdot 2}=\frac{(1+\rho {)}^2}{4\rho }=\frac{(4/3{)}^2}{4/3}=\frac{4}{3}$$
です。

元の側で計算すると
$$K=\frac{\left(\frac{3}{2}+r\right)\left(\frac{1}{2}+r\right)}{2r\cdot 2}=\frac{(1+r{)}^2-\frac{1}{4}}{4r}$$
です。

4. $r$ を求める

両者を等しいとおくと
$$3\left((1+r{)}^2-\frac{1}{4}\right)=16r$$
$$3r^2+6r+\frac{9}{4}=16r$$
$$12r^2-40r+9=0$$
となります。解の公式より
$$r=\frac{40\pm \sqrt{1600-432}}{24}=\frac{40\pm 4\sqrt{73}}{24}=\frac{10\pm \sqrt{73}}{6}$$
です。

$\frac{10+\sqrt{73}}{6}>\frac{1}{2}$ は条件に合いません。一方 $\frac{10-\sqrt{73}}{6}\approx 0.243$ は $0<r<\frac{1}{2}$ を満たします。逆にこの $r$ のとき $\rho =\frac{1}{3}$ となり、同心円環に 6 個の円板を角度 $\frac{\pi }{3}$ ずつ並べて ${\phi }_a^{-1}$ で戻せば、条件 (i)〜(iii) を満たす円板が実際に得られます。

よって
$$r=\frac{10-\sqrt{73}}{6}$$

条件を満たす 6 個の円板は、2 円 $C_0,C_1$ に接する Steiner 鎖をなす。$C_0$ は中心 $0$・半径 $R=1$、$C_1$ は中心 $1/2$・半径 $r$、中心間距離は $d=1/2$ である。

反転で $C_0,C_1$ を同心円（半径 $R^{\prime },{\rho }^{\prime }$、$t=R^{\prime }/{\rho }^{\prime }>1$）に写す。接する円の鎖は接する円の鎖に写る。同心円の間に入る互いに接する $n$ 個の円が一周して閉じる条件は
$$\sin \frac{\pi }{n}=\frac{R^{\prime }-{\rho }^{\prime }}{R^{\prime }+{\rho }^{\prime }}=\frac{t-1}{t+1}.$$

$n=6$ のとき $\frac{1}{2}=\frac{t-1}{t+1}$ より $t=3$。

2 円の不変量は反転で変わらない。
$$\frac{R^2+r^2-d^2}{2Rr}=\frac{R^{\prime 2}+{\rho }^{\prime 2}}{2R^{\prime }{\rho }^{\prime }}=\frac{t+1/t}{2}.$$
右辺は $t=3$ のとき $\frac{3+1/3}{2}=\frac{5}{3}$。左辺は $\frac{3/4+r^2}{2r}$ なので
$$\frac{3/4+r^2}{2r}=\frac{5}{3}\Rightarrow 12r^2-40r+9=0\Rightarrow r=\frac{10\pm \sqrt{73}}{6}.$$

$0<r<1/2$ を満たすのは $r=\frac{10-\sqrt{73}}{6}\approx 0.2427$ のみ（$+$ 側は約 3.09 で不適）。

検算: $r\approx 0.2427$ のとき $(0.75+0.0589)/(0.4853)\approx 1.667=5/3$ となり、一致する。

なお、鎖が 2 周以上して閉じる場合は、隣り合わない円板の内部が交わるので (iii) に反する。したがって 1 周の場合のみ考えればよい。