偏心円環の同心円環への写像

2 つの円の両方に関して対称な点の組 $p, q$ を求め、 $w = \frac{z - p}{z - q}$ （を正規化したもの）で中心のずれた円環領域を同心円環 $1 < ∣ w ∣ < R$ に移して、 $R$ の値を求められる

前提

複比と標準領域の間の一次分数変換（大学院数学複素解析・リーマン面）

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算数中学高校大学大学院

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複比と標準領域の間の一次分数変換（大学院数学複素解析・リーマン面）

説明

一方の円板の中に、中心のずれた小さい円板がある領域（偏心円環）を、一次分数変換で同心円環 $1 < ∣ w ∣ < R$ に写す方法を学びます。鍵は、2 つの円の両方に関して互いに対称な 2 点 $p, q$ を見つけ、 $p \mapsto 0$ , $q \mapsto \infty$ となる一次分数変換を使うことです。こうして得られる比 $R$ （外半径と内半径の比）は、領域の形を表す量として、電気容量や調和関数の計算、2 つの円環領域が等角同値かどうかの判定に使われます。

なぜそうしてよいのか

中心 $a$ 、半径 $r$ の円 $C$ に関して 2 点 $p, q$ が対称であるとは、 $p, q$ が $a$ から出る同じ半直線上にあって $∣ p - a ∣ ∣ q - a ∣ = r^{2}$ を満たすことです。このとき $C$ は、2 点 $p, q$ からの距離の比が一定な点の軌跡（アポロニウスの円）になっています。実際、 $C$ 上の点 $z$ について三角形 $a p z$ と $a z q$ は、 $a$ での角を共有し $\frac{∣ p - a ∣}{r} = \frac{r}{∣ q - a ∣}$ なので相似で、 $\frac{∣ z - p ∣}{∣ z - q ∣} = \frac{∣ p - a ∣}{r}$ は $z$ によらない一定値です。

そこで $p, q$ が 2 つの円 $C_{1}$ , $C_{2}$ の両方に関して対称であれば、 $w = \frac{z - p}{z - q}$ とおくと $∣ w ∣ = \frac{∣ z - p ∣}{∣ z - q ∣}$ は $C_{1}$ 上でも $C_{2}$ 上でもそれぞれ一定です。つまり $C_{1}$ , $C_{2}$ の像はどちらも原点中心の円になります。一次分数変換は円を円に、2 つの円で区切られた領域をその像の円で区切られた領域に移すので、偏心円環は同心円環 $ρ_{1} < ∣ w ∣ < ρ_{2}$ に移ります。最後に $w$ を定数倍し（必要なら $1/ w$ に取り替え）て $1 < ∣ w ∣ < R$ の形にすれば $R = ρ_{2} / ρ_{1}$ です。

2 つの円の中心を結ぶ直線を実軸にとれば、 $p, q$ はその直線上にあり、2 つの対称の条件は $p, q$ についての連立方程式（和と積の条件）になるので、2 次方程式を解いて求められます。なお、 $1 < ∣ w ∣ < R$ と等角同値になる $R$ は領域によって一つに決まることが知られており、どちらの点を $0$ に送っても同じ $R$ が得られます。

手順

2 つの円の中心を結ぶ直線を実軸にとり、各円の中心 $a_{k}$ と半径 $r_{k}$ を読み取る
対称点の条件 $(p - a_{1}) (q - a_{1}) = r_{1}^{2}$ , $(p - a_{2}) (q - a_{2}) = r_{2}^{2}$ （ $p, q$ 実数）を連立し、 $p + q$ と $pq$ を求めて 2 次方程式から $p, q$ を決める
内側の円板の内部にある方を $p$ として、 $w = \frac{z - p}{z - q}$ （または外側の円が単位円なら $w = \frac{z - p}{1 - p z}$ ）とおく
各円の上の都合のよい 1 点（実軸との交点など）を代入して、像の円の半径 $ρ_{1} < ρ_{2}$ を求める
$w$ を $ρ_{1}$ で割って同心円環 $1 < ∣ w ∣ < R$ に正規化し、 $R = \frac{ρ _{2}}{ρ _{1}}$ を答える

例題

領域 $D = {z ∣ ∣ z ∣ < 1, ∣ z - \frac{1}{4} ∣ > \frac{1}{4}}$ を一次分数変換で同心円環 ${w ∣ 1 < ∣ w ∣ < R}$ に写すとき、 $R$ の値を求めよ。

例題の解答

（手順 1）2 つの円の中心は $0$ と $\frac{1}{4}$ でどちらも実軸上にある。外側の円は $a_{1} = 0$ , $r_{1} = 1$ 、内側の円は $a_{2} = \frac{1}{4}$ , $r_{2} = \frac{1}{4}$ 。

（手順 2）対称点の条件は $pq = 1$ と $(p - \frac{1}{4}) (q - \frac{1}{4}) = \frac{1}{16}$ 。後者を展開すると $pq - \frac{1}{4} (p + q) + \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ なので $p + q = 4 pq = 4$ 。よって $p, q$ は $t^{2} - 4 t + 1 = 0$ の解 $2 \pm 3$ である。

（手順 3） $2 - 3 \approx 0.268$ は $∣0.268 - 0.25∣ < 0.25$ より内側の円板の内部にあるので $p = 2 - 3$ , $q = \frac{1}{p} = 2 + 3$ 。外側の円が単位円なので $w = \frac{z - p}{1 - p z}$ とおく（これは $- \frac{1}{p} \cdot \frac{z - p}{z - q}$ に等しい）。単位円は単位円 $∣ w ∣ = 1$ に移り、 $D$ の点は $∣ w ∣ < 1$ の側に移る。

（手順 4）内側の円上の点 $z = 0$ を代入すると $w = - p$ なので、内側の円の像は半径 $ρ_{1} = p = 2 - 3$ の円である（検算: 同じ円上の $z = \frac{1}{2}$ では $w = \frac{\frac{1}{2} - p}{1 - \frac{p}{2}} = \frac{3 - \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = 2 - 3$ で一致）。外側の像は $ρ_{2} = 1$ 。 $z = p$ が $w = 0$ に移るので、内側の円板は $∣ w ∣ < ρ_{1}$ に移り、 $D$ は $2 - 3 < ∣ w ∣ < 1$ に移る。

（手順 5） $w$ を $2 - 3$ で割ると $1 < ∣ w ∣ < \frac{1}{2 - 3} = 2 + 3$ 。よって $R = 2 + 3$ 。

答え: $2 + 3$

よくある誤り

内側の円の中心 $\frac{1}{4}$ を $w$ に代入して、その像を像の円の中心と考えてしまう誤り。一次分数変換は円の中心を像の円の中心に移さない。正しくは円上の点（例: $z = 0$ , $z = \frac{1}{2}$ ）を代入して $∣ w ∣$ を計算し、半径を求める。
対称の条件を $∣ p - a ∣ ∣ q - a ∣ = r$ や $(p - a) (q - a) = - r^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $p, q$ が中心 $a$ から同じ側にあって $(p - a) (q - a) = r^{2}$ （例では $pq = 1$ と $(p - \frac{1}{4}) (q - \frac{1}{4}) = \frac{1}{16}$ ）。
像の円環 $2 - 3 < ∣ w ∣ < 1$ を正規化するとき $R = 2 - 3$ と答えてしまう誤り。 $1 < ∣ w ∣ < R$ の形にするには内半径で割るので $R = \frac{1}{2 - 3} = 2 + 3 > 1$ である。
$p$ と $q$ のどちらも 2 つの円の間（領域 $D$ の中）にあると考えてしまう誤り。 $p, q$ は一方が内側の円板の中、もう一方が外側の円の外にあり、 $D$ の中には $0$ も $\infty$ も移らない。だから像が $0$ と $\infty$ を含まない同心円環になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
複素平面の領域 $D = {z \in C ∣ z ∣ < 1, z - \frac{7}{16} > \frac{5}{16}}$ を考える（単位円板から閉円板 $z - \frac{7}{16} \leq \frac{5}{16}$ を除いたもの）。実数 $R > 1$ と一次分数変換 $T$ で、 $T$ が $D$ を同心円環 ${w \in C ∣ 1 < ∣ w ∣ < R}$ の上へ 1 対 1 に写すものが存在する。このときの $R$ の値を求めよ。

偏心円環の同心円環への写像

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題