複素解析・リーマン面の問題

一次分数変換で帯状領域に移す. 二つの境界円 $|z|=1$ と $\left|z-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$ はともに $z=1$ を通るので、$z=1$ を $\infty$ に送る一次分数変換 $$\phi (z)=\frac{1}{1-z}$$ を使う。一次分数変換は円（直線を含む）を円に移し、$\infty$ を通る円は直線になるので、二つの境界円は直線に移る。

• $z=e^{i\theta }$（$\theta \ne 0$）のとき $1-e^{i\theta }=-2i\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta /2}$ より $$\phi (e^{i\theta })=\frac{i{e}^{-i\theta /2}}{2\sin \frac{\theta }{2}}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\cot \frac{\theta }{2}$$ なので、単位円は直線 $\mathrm{Re}w=\frac{1}{2}$ に移る。$\phi (0)=1$ で $\mathrm{Re}1>\frac{1}{2}$ だから、単位開円板は半平面 $\mathrm{Re}w>\frac{1}{2}$ に移る。
• $z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{e}^{i\theta }$ のとき $1-z=\frac{1-e^{i\theta }}{2}$ なので $\phi (z)=1+i\cot \frac{\theta }{2}$ となり、円 $\left|z-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$ は直線 $\mathrm{Re}w=1$ に移る。中心 $z=\frac{1}{2}$ は $\phi \left(\frac{1}{2}\right)=2$ に移るので、開円板 $\left|z-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{2}$ は $\mathrm{Re}w>1$ に移る。

よって $\phi$ は $D$ を帯状領域 $$S=\left\{w|\frac{1}{2}<\mathrm{Re}w<1\right\}$$ に正則・全単射に移す（$z=1\notin D$ なので $\phi$ は $D$ 上で正則）。

帯を円板に移す. $\zeta =\pi \left(w-\frac{3}{4}\right)$ とおくと $S$ は $\left\{|\mathrm{Re}\zeta |<\frac{\pi }{4}\right\}$ に移る。この帯上で $$\tan \zeta =-i\frac{e^{2i\zeta }-1}{e^{2i\zeta }+1}$$ と書くと、$s=e^{2i\zeta }$ は偏角が $2\mathrm{Re}\zeta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ なので右半平面 $\mathrm{Re}s>0$ を全単射に動き、$\frac{s-1}{s+1}$ は右半平面を $\mathbb{D}$ に全単射に移し、$-i$ 倍は回転である。したがって $$g(z)=\tan \left(\pi \left(\frac{1}{1-z}-\frac{3}{4}\right)\right)$$ は $D$ から $\mathbb{D}$ への正則な全単射である。$\phi \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{4/3}=\frac{3}{4}$ なので $g\left(-\frac{1}{3}\right)=\tan 0=0$。

一意性. $f$ も条件を満たす写像なら、$f\circ g^{-1}$ は $\mathbb{D}$ の正則自己同型で $0$ を固定する。シュワルツの補題により、それは回転 $w\mapsto e^{i\alpha }w$ である。よって $f=e^{i\alpha }g$ であり、$|f(z)|=|g(z)|$ が $f$ の選び方によらず成り立つ。

計算. $\phi \left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{6/5}=\frac{5}{6}$ なので $$\left|f\left(-\frac{1}{5}\right)\right|=\left|\tan \left(\pi \left(\frac{5}{6}-\frac{3}{4}\right)\right)\right|=\tan \frac{\pi }{12}.$$ $\tan \frac{\pi }{12}=\tan \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{2}=2-\sqrt{3}$。

したがって答えは $2-\sqrt{3}$ である。

リーマンの写像定理から $f$ は回転を除いて一意で、$|f|$ は一意に定まる。$f$ を具体的に構成する。

ステップ1: $u=\frac{1}{1-z}$ とおく（$z=1$ を $\infty$ に送る一次分数変換）。$z=1-\frac{1}{u}$ なので、$|z|=1⟺|u-1|=|u|⟺\mathrm{Re}u=\frac{1}{2}$、$|z|<1⟺\mathrm{Re}u>\frac{1}{2}$。円 $|z-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$ は $z=1\mapsto \infty$, $z=0\mapsto 1$ で実軸に関して対称なので直線 $\mathrm{Re}u=1$ に写り、外側 $|z-\frac{1}{2}|>\frac{1}{2}$（例えば $z=-\frac{1}{3}\mapsto u=\frac{3}{4}$）は $\mathrm{Re}u<1$ に写る。よって $D$ は帯状領域 $\frac{1}{2}<\mathrm{Re}u<1$ に写る。

ステップ2: $h=\exp (2\pi i(u-\frac{1}{2}))$。$u=\frac{1}{2}+x+iy$（$0<x<\frac{1}{2}$）のとき $h=e^{-2\pi y}{e}^{2\pi ix}$ で偏角 $2\pi x\in (0,\pi )$。この帯は上半平面 $\mathbb{H}$ の上へ全単射に写る（$\mathrm{Re}u$ 方向の幅が $\frac{1}{2}$ で周期 1 の $e^{2\pi iu}$ は単射）。

ステップ3: $\mathbb{H}\to \mathbb{D}$ は $g(h)=e^{i\theta }\frac{h-h_0}{h-\overline{h_0}}$（$h_0\in \mathbb{H}$ が $0$ に写る）。

各点: $z=-\frac{1}{3}$: $u=\frac{3}{4}$, $h_0=\exp (2\pi i\cdot \frac{1}{4})=i$。$z=-\frac{1}{5}$: $u=\frac{5}{6}$, $h_1=\exp (2\pi i\cdot \frac{1}{3})=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

$|f(-\frac{1}{5})|=\frac{|h_1-i|}{|h_1+i|}$。$|h_1-i{|}^2=\frac{1}{4}+{\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=2-\sqrt{3}$、$|h_1+i{|}^2=\frac{1}{4}+{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=2+\sqrt{3}$。したがって
$$|f(-\frac{1}{5})|=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{(2-\sqrt{3}{)}^2}=2-\sqrt{3}\approx 0.268$$
（$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$ を使った）。
検算: $-\frac{1}{5}$ は $-\frac{1}{3}$ より境界 $|z|=1$ に近く、境界点 $z=-1$ から同程度の位置にあるので、$f(-1/3)=0$ から 0.27 程度離れるのは妥当。