等角写像の合成とリーマン写像

一次分数変換・べき関数 $z^{α}$ ・指数関数・対数関数を合成して、レンズ形・扇形・帯状領域などを単位円板に移す等角写像を作り、正規化条件 $φ (a) = 0, φ^{'} (a) > 0$ を満たす写像の $φ^{'} (a)$ の値を求められる

前提

複比と標準領域の間の一次分数変換（大学院数学複素解析・リーマン面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）

この技能までの道筋（76 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
複素数の等式が表す図形（数学C 複素数平面）
一次分数変換による円・直線の像（大学院数学複素解析・リーマン面）
複比と標準領域の間の一次分数変換（大学院数学複素解析・リーマン面）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）

説明

扇形・帯状領域・2 つの円弧で囲まれたレンズ形などの領域を、一次分数変換・べき関数 $z^{α}$ ・指数関数・対数関数を順につないで上半平面へ、さらに単位円板へと写す等角写像を作る方法を学びます。単連結な領域（複素平面全体ではない）から単位円板への正則な全単射は、点 $a$ を指定して $φ (a) = 0$ , $φ^{'} (a) > 0$ と正規化するとただ一つに決まります（リーマン写像）。具体的な領域についてこの $φ$ を式で書き、 $φ^{'} (a)$ の値を求めることが目標です。

なぜそうしてよいのか

ここでいう等角写像とは、領域から領域への正則な全単射のことです。等角写像の合成はまた等角写像で、逆写像も等角写像です。したがって「扱いにくい領域 → 標準的な領域（扇形・帯・上半平面）→ 単位円板」と、形のよくわかった写像を順につなげば、目的の写像が得られます。よく使う部品は次のとおりです: (1) 一次分数変換は円・直線を円・直線に移すので、2 つの円弧が点 $p, q$ で交わってできるレンズ形は $\frac{z - p}{z - q}$ で $p \mapsto 0$ , $q \mapsto \infty$ となり、頂点が原点の扇形（角は円弧どうしのなす角）に移る。(2) $α > 0$ とし、 $z^{α} = e^{α l o g z}$ を扇形 $0 < ar g z < θ$ の上で考える。 $ar g z$ がこの扇形の中で $0$ から $θ$ まで連続に動くような分枝を使えば、 $z = r e^{i t}$ （ $0 < t < θ$ ）は $r^{α} e^{i α t}$ に移るので、扇形は扇形 $0 < ar g w < α θ$ に移り、 $α θ \leq 2 π$ なら単射である。 $θ \leq π$ なら主値（ $- π < ar g z \leq π$ ）でよいが、 $θ > π$ のときは主値の切れ目である負の実軸が扇形の内部を通り、そこで $z^{α}$ が連続でなくなるので、偏角を $0 < ar g z < 2 π$ にとった分枝を使う。(3) $e^{z} = e^{x} (cos y + i sin y)$ は帯 $0 < Im z < π$ を上半平面に移し、その逆が（偏角を $0 < ar g < π$ にとった） $lo g$ である。(4) 上半平面の点 $b$ を中心に移すには $\frac{ζ - b}{ζ - b ˉ}$ を使う。

正規化がなぜ写像を一つに決めるかを見ておきます。 $φ_{1}, φ_{2}$ がともに $φ_{k} (a) = 0$ , $φ_{k}^{'} (a) > 0$ を満たす等角写像なら、 $T = φ_{2} \circ φ_{1}^{- 1}$ は単位円板からそれ自身への等角写像（円板の自己同型）で $T (0) = 0$ を満たします。円板の自己同型は $e^{i θ} \frac{z - c}{1 - c ˉ z}$ の形に限られるので、 $T (0) = 0$ から $c = 0$ 、つまり $T (z) = e^{i θ} z$ 。合成関数の微分より $T^{'} (0) = φ_{2}^{'} (a) / φ_{1}^{'} (a) > 0$ なので $e^{i θ} = 1$ となり、 $φ_{1} = φ_{2}$ です。

同じ理由で、 $g (a) = 0$ を満たす等角写像 $g$ が一つ作れれば、正規化された写像は $φ = e^{i θ} g$ （ $e^{i θ} = g^{'} (a) /∣ g^{'} (a) ∣$ ）であり、 $φ^{'} (a) = ∣ g^{'} (a) ∣$ となります（等角写像では $g^{'} (a) \neq = 0$ ）。 $g^{'} (a)$ は合成関数の微分（連鎖律）で部品ごとの微分係数の積として計算できます。

手順

領域の境界（線分・半直線・円弧）と、それらが交わる角を読み取る
一次分数変換・ $z^{α}$ ・ $e^{z}$ ・ $lo g z$ を組み合わせて、領域を上半平面に移す写像 $ζ = h (z)$ を作り、各段階で領域がどう移るかを確かめる。 $z^{α}$ や $lo g z$ は、偏角が領域の中で連続に動く分枝を選ぶ（角が $π$ を超える扇形 $0 < ar g z < θ$ なら $0 < ar g z < 2 π$ の分枝）
$b = h (a)$ を求め、 $w = \frac{ζ - b}{ζ - b ˉ}$ で上半平面を単位円板に移す。合成 $g$ は $g (a) = 0$ を満たす
連鎖律 $g^{'} (a) = \frac{d w}{d ζ} (b) \cdot h^{'} (a)$ で $g^{'} (a)$ を計算する。 $\frac{d w}{d ζ} = \frac{b - b ˉ}{( ζ - b ˉ ) ^{2}}$ なので $\frac{d w}{d ζ} (b) = \frac{1}{b - b ˉ}$
回転をかけて $φ = e^{i θ} g$ とし、正規化された写像の微分係数 $φ^{'} (a) = ∣ g^{'} (a) ∣$ を答える

例題

第 1 象限 $Q = {z ∣ Re z > 0, Im z > 0}$ から単位円板 ${w ∣ ∣ w ∣ < 1}$ への等角写像（正則な全単射） $φ$ で、 $φ (1 + i) = 0$ , $φ^{'} (1 + i) > 0$ を満たすものについて、 $φ^{'} (1 + i)$ の値を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $Q$ は正の実軸と正の虚軸で囲まれ、境界は原点で角 $\frac{π}{2}$ をなす扇形 $0 < ar g z < \frac{π}{2}$ である。

（手順 2） $ζ = h (z) = z^{2}$ とする（整数乗なので分枝の選択は不要）。 $ar g ζ = 2 ar g z$ より $Q$ は $0 < ar g ζ < π$ 、つまり上半平面に単射に移る（ $α θ = 2 \cdot \frac{π}{2} = π \leq 2 π$ ）。

（手順 3） $b = h (1 + i) = (1 + i)^{2} = 2 i$ 。 $w = \frac{ζ - 2 i}{ζ + 2 i}$ で上半平面は単位円板に移り、 $2 i \mapsto 0$ 。合成 $g (z) = \frac{z ^{2} - 2 i}{z ^{2} + 2 i}$ は $g (1 + i) = 0$ を満たす。

（手順 4） $\frac{d w}{d ζ} (2 i) = \frac{1}{2 i - ( - 2 i )} = \frac{1}{4 i} = - \frac{i}{4}$ 、 $h^{'} (1 + i) = 2 (1 + i)$ 。よって
$g^{'} (1 + i) = - \frac{i}{4} \cdot 2 (1 + i) = \frac{- 2 i + 2}{4} = \frac{1 - i}{2} .$

（手順 5） $∣ g^{'} (1 + i) ∣ = \frac{2}{2}$ 。 $e^{i θ} = \frac{1 + i}{2}$ として $φ = e^{i θ} g$ とすれば $φ^{'} (1 + i) = \frac{1 + i}{2} \cdot \frac{1 - i}{2} = \frac{2}{2 2} = \frac{2}{2} > 0$ 。正規化された写像はただ一つなので、 $φ^{'} (1 + i) = \frac{2}{2}$ 。

答え: $\frac{2}{2}$

よくある誤り

回転による正規化を忘れて $φ^{'} (1 + i) = \frac{1 - i}{2}$ と答えてしまう誤り。 $g$ は $g (a) = 0$ を満たすだけで $g^{'} (a) > 0$ とは限らない。正しくは $φ = e^{i θ} g$ と回転させ、 $φ^{'} (a) = ∣ g^{'} (a) ∣ = \frac{2}{2}$ 。
上半平面から円板への写像を、点 $b = h (a)$ によらずいつも $\frac{ζ - i}{ζ + i}$ としてしまう誤り。これでは $ζ = 2 i$ は $\frac{i}{3 i} = \frac{1}{3} \neq = 0$ に移る。正しくは $\frac{ζ - b}{ζ - b ˉ}$ （例では $\frac{ζ - 2 i}{ζ + 2 i}$ ）を使う。
連鎖律で内側の微分を落とし、 $g^{'} (a) = \frac{d w}{d ζ} (b) = - \frac{i}{4}$ としてしまう誤り。正しくは $g^{'} (a) = \frac{d w}{d ζ} (h (a)) \cdot h^{'} (a)$ で、 $h^{'} (1 + i) = 2 + 2 i$ を掛ける。
べき関数の単射性や分枝を確かめずに使う誤り。たとえば扇形 $0 < ar g z < \frac{3 π}{2}$ に $z^{2}$ を使うと角が $3 π > 2 π$ となり、像が重なって全単射にならない。また $z^{2/3}$ を主値でとると、負の実軸（扇形の内部の $ar g z = π$ の半直線）で偏角が $π$ から $- π$ に跳び、連続にならない。正しくは偏角を $0 < ar g z < 2 π$ にとった分枝の $z^{2/3} = ∣ z ∣^{2/3} e^{\frac{2}{3} i a r g z}$ を使えば、 $0 < ar g z < \frac{3 π}{2}$ は $0 < ar g ζ < \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2} = π$ 、つまり上半平面に移る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
複素平面の第 1 象限 $Q = {z \in C ∣ Re z > 0, Im z > 0}$ と単位開円板 $D = {w \in C ∣ ∣ w ∣ < 1}$ を考え、 $a = 1 + i$ とする。全単射な正則写像 $φ : Q \to D$ で $φ (a) = 0, φ^{'} (a) > 0$ （ $φ^{'} (a)$ は正の実数）を満たすものはただ 1 つ存在する。 $φ^{'} (a)$ の値を求めよ。

等角写像の合成とリーマン写像

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題