複素解析・リーマン面の問題

方針. $f(0)=0$ なので $f(z)=zg(z)$ と分け、$g$ にシュワルツ・ピックの補題を使う。

1. $g$ を作る. $f(0)=0$ より $g(z)=\frac{f(z)}{z}$（$z\ne 0$）, $g(0)=f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$ とおくと、$g$ は $\mathbb{D}$ 上で正則である。シュワルツの補題（最大値原理を $|z|=r$ に使い $r\to 1$ とする）から $|g(z)|\le 1$ であり、$|g|=1$ となる点があれば最大値原理により $g$ は絶対値 $1$ の定数となって $g(0)=\frac{1}{2}$ に反する。よって $g(\mathbb{D})\subset \mathbb{D}$。

2. シュワルツ・ピックの補題. $g$ に $w=0$ として使うと、$a=g(0)=\frac{1}{2}$ に対して
$$\left|\frac{g(z)-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}g(z)}\right|\le |z|.$$
$z=\frac{1}{2}$ とし、$\phi =\frac{g(\frac{1}{2})-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}g(\frac{1}{2})}$ とおくと $|\phi |\le \frac{1}{2}$ で、逆に解くと
$$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\phi +\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}\phi }.$$
一次分数変換 $T(\phi )=\frac{\phi +\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}\phi }$ は係数が実数なので、閉円板 $|\phi |\le \frac{1}{2}$ を実軸について対称な閉円板に移す。その直径の両端は実軸上の点 $T\left(-\frac{1}{2}\right)=0$ と $T\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}$ である。よって像は中心 $\frac{2}{5}$、半径 $\frac{2}{5}$ の閉円板で、その上の絶対値の最大値は $\frac{4}{5}$。したがって
$$\left|g\left(\frac{1}{2}\right)\right|\le \frac{4}{5},\left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\frac{1}{2}\left|g\left(\frac{1}{2}\right)\right|\le \frac{2}{5}.$$

3. 等号が成り立つ例. $g(z)=\frac{z+\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}z}$ は $\mathbb{D}$ の自己同型で $g(0)=\frac{1}{2}$。
$$f(z)=z\cdot \frac{z+\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}z}=\frac{z(2z+1)}{z+2}$$
とすると、$\mathbb{D}$ 上で $|f(z)|=|z||g(z)|<1$、$f(0)=0$、$f^{\prime }(0)=g(0)=\frac{1}{2}$ を満たし、
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{2}{5}.$$

よって求める最大値は $\frac{2}{5}$ である。

$f(0)=0$ なのでシュワルツの補題より $f(z)=zg(z)$ と書け、$g$ は $\mathbb{D}$ 上正則で $|g|\le 1$。$g(0)=f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$ であり、$|g(0)|<1$ なので最大値原理より $g$ は定数でなく $|g|<1$、すなわち $g:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$。\n\nシュワルツ・ピックの補題より、$a=g(0)=\frac{1}{2}$、$z=\frac{1}{2}$ に対して\n$$|g(z)|\le \frac{|a|+|z|}{1+|a||z|}=\frac{1/2+1/2}{1+1/4}=\frac{4}{5}.$$\nよって $|f(1/2)|=\frac{1}{2}|g(1/2)|\le \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2}{5}$。\n\n等号: $g(z)=\frac{z+1/2}{1+z/2}$（円板の自己同型）をとると $g(0)=1/2$、$g(1/2)=\frac{1}{5/4}=\frac{4}{5}$。$f(z)=zg(z)$ は $\mathbb{D}$ 上正則で $|f|<1$、$f(0)=0$、$f^{\prime }(0)=g(0)=1/2$ を満たし、$f(1/2)=\frac{2}{5}$。\n\n以上より最大値は $\frac{2}{5}$。