この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

複素解析・リーマン面の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学複素解析・リーマン面

$D_{2} = {z \in C ∣ ∣ z ∣ < 2}$ とする。 $D_{2}$ 上で正則な関数 $f$ で、次の条件をすべて満たすものを考える。

すべての $z \in D_{2}$ に対して $∣ f (z) ∣ \leq 3$
$f (0) = 0$ かつ $f (1) = 0$

このような $f$ 全体を動かすとき、 $∣ f (- 1) ∣$ の最大値を求めよ。

この問題で使うもの

シュワルツの補題と零点の条件（説明と入口の問題）
最大値原理（説明と入口の問題）
複比と標準領域の間の一次分数変換（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（83 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

変数と値を拡大縮小して、単位円板から単位円板への写像の問題に直しましょう。

ヒント 2

零点 $0$ と $\frac{1}{2}$ をもつ有限ブラシュケ積 $w \cdot \frac{w - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2} w}$ で $g$ を割り、その商に最大値原理を使いましょう。

ヒント 3

$g (w) = f (2 w) /3$ とおくと $∣ g (w) ∣ \leq ∣ w ∣ \frac{w - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2} w}$ が示せます。あとは $w = - \frac{1}{2}$ を代入し、等号が成り立つ例を確かめます。

答えと解説

答えを見る

\frac{6}{5}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

単位円板への帰着。 $D = {w ∣ ∣ w ∣ < 1}$ とし、 $g (w) = \frac{f ( 2 w )}{3}$ $(w \in D)$ とおく。 $g$ は $D$ 上で正則で $∣ g (w) ∣ \leq 1$ を満たし、 $g (0) = 0$ 、 $g (\frac{1}{2}) = 0$ である。求める量は $∣ f (- 1) ∣ = 3 g (- \frac{1}{2})$ である。

零点をくくり出す。 $D$ の自己同型
$φ (w) = \frac{w - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2} w}$
は $∣ w ∣ = 1$ で $∣ φ (w) ∣ = 1$ を満たし、 $D$ 内の零点は $w = \frac{1}{2}$ のみ（1位）である。 $g$ は $0$ と $\frac{1}{2}$ で零点をもつので、
$h (w) = \frac{g ( w )}{w φ ( w )}$
は $w = 0, \frac{1}{2}$ が除去可能特異点となり、 $D$ 上の正則関数に拡張される。

$0 < r < 1$ とする。 $∣ w ∣ = r$ 上では $∣ g (w) ∣ \leq 1$ より $∣ h (w) ∣ \leq \frac{1}{r m ( r )}$ である。ここで $m (r) = min_{∣ w ∣ = r} ∣ φ (w) ∣$ とおいた。最大値原理により、 $∣ w ∣ \leq r$ でも $∣ h (w) ∣ \leq \frac{1}{r m ( r )}$ が成り立つ。 $φ$ は閉円板 $∣ w ∣ \leq 1$ の近傍で連続で、 $∣ w ∣ = 1$ 上で $∣ φ ∣ = 1$ であるから、 $r \to 1$ のとき $m (r) \to 1$ となる。固定した $w \in D$ について $r \to 1$ とすれば $∣ h (w) ∣ \leq 1$ を得る。したがって
$∣ g (w) ∣ \leq ∣ w ∣ ∣ φ (w) ∣ (w \in D)$
が成り立つ。 $w = - \frac{1}{2}$ を代入すると、
$φ (- \frac{1}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{4}} = - \frac{4}{5}$
より
$g (- \frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$
となる。よって $∣ f (- 1) ∣ \leq 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$ である。

等号が成り立つ例。 $g (w) = w φ (w)$ とすると、これは $D$ 上で $∣ g ∣ < 1$ を満たし、等号が成り立つ。もとの変数に戻すと
$f (z) = 3 g (\frac{z}{2}) = 3 \cdot \frac{z}{2} \cdot \frac{\frac{z - 1}{2}}{\frac{4 - z}{4}} = \frac{3 z ( z - 1 )}{4 - z}$
である。この $f$ は $D_{2}$ 上で正則で、 $f (0) = f (1) = 0$ を満たす。 $∣ z ∣ = 2$ のとき
$∣4 - z ∣^{2} = 20 - 8 Re z = 4∣ z - 1 ∣^{2}$
なので $∣ f (z) ∣ = 3 \cdot \frac{2∣ z - 1∣}{2∣ z - 1∣} = 3$ となり、最大値原理から $D_{2}$ 上で $∣ f ∣ \leq 3$ である。さらに
$f (- 1) = \frac{3 \cdot ( - 1 ) \cdot ( - 2 )}{5} = \frac{6}{5}$
となり、上界が実際に達成される。

以上より、最大値は $\frac{6}{5}$ である。

別解

$g (w) = f (2 w) /3$ とおくと、 $g$ は単位円板 $∣ w ∣ < 1$ 上で正則で $∣ g ∣ \leq 1$ 、 $g (0) = 0$ 、 $g (1/2) = 0$ を満たす。

シュワルツの補題を $w = 0$ で使うと $g (w) = w g_{1} (w)$ と書け、 $g_{1}$ は正則で $∣ g_{1} ∣ \leq 1$ である。 $g_{1} (1/2) = 0$ なので、 $g_{1}$ に $w = 1/2$ でのシュワルツ–ピックの補題（ブラシュケ因子で割る議論）を用いると、 $g_{1} (w) = \frac{w - 1/2}{1 - w /2} h (w)$ （ $h$ は正則で $∣ h ∣ \leq 1$ ）と書ける。

よって $g (w) = w \cdot \frac{w - 1/2}{1 - w /2} h (w)$ である。

$f (- 1) = 3 g (- 1/2)$ なので、 $w = - 1/2$ を代入して評価する。

$∣ g (- 1/2) ∣ \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{1 + 1/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$

等号は $h \equiv 1$ のとき成り立つ。このとき $f (z) = 3 \cdot \frac{z}{2} \cdot \frac{z /2 - 1/2}{1 - z /4}$ であり、 $∣ f ∣ \leq 3$ 、 $f (0) = f (1) = 0$ を満たす。

以上より $∣ f (- 1) ∣ \leq 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$ で、最大値は $\frac{6}{5}$ である。

検算：上の $f$ に $z = - 1$ を代入すると $f (- 1) = 3 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot \frac{- 1}{5/4} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$ となり一致する。

複素解析・リーマン面の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題