複素解析・リーマン面の問題

単位円板への引き戻し. 一次分数変換 $\phi (w)=\frac{w-1}{w+1}$ は $\Pi$ を $\mathbb{D}$ の上へ双正則に写し、$\phi (1)=0$ で、逆写像は ${\phi }^{-1}(g)=\frac{1+g}{1-g}$ である。$f\in \mathcal{F}$ に対して $g=\phi \circ f$ とおくと、$g:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ は正則で $g(0)=\phi (1)=0$。また $f=\frac{1+g}{1-g}$ より
$$f^{\prime }(z)=\frac{2g^{\prime }(z)}{(1-g(z){)}^2}$$
なので、$f^{\prime }(0)=0⟺g^{\prime }(0)=0$。逆に $g:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ が正則で $g(0)=g^{\prime }(0)=0$ なら $f=\frac{1+g}{1-g}\in \mathcal{F}$ である。

シュワルツの補題を 2 回使う. $g(0)=0$, $|g|<1$ なので、シュワルツの補題より $|g(z)|\le |z|$。よって $h(z)=g(z)/z$（$h(0)=g^{\prime }(0)$）は $\mathbb{D}$ で正則で、最大値原理により $|h(z)|\le 1$。さらに $h(0)=g^{\prime }(0)=0$ なので、再びシュワルツの補題から $|h(z)|\le |z|$、すなわち
$$|g(z)|\le |z{|}^2.$$
特に $\left|g\left(\frac{1}{2}\right)\right|\le \frac{1}{4}$。逆に $|c|\le 1$ の定数 $c$ に対して $g(z)=c{z}^2$ は条件を満たし、$g(\frac{1}{2})=\frac{c}{4}$ となるので、$g(\frac{1}{2})$ の取りうる値の全体はちょうど閉円板 $K=\{|\zeta |\le \frac{1}{4}\}$ である。

像の円板. したがって $f(\frac{1}{2})$ の取りうる値の全体は ${\phi }^{-1}(K)$ である。一次分数変換 $\zeta \mapsto \frac{1+\zeta }{1-\zeta }$ は実数を実数に写すので、円 $|\zeta |=\frac{1}{4}$（実軸に関して対称）の像は実軸に関して対称な円で、実軸と
$$\zeta =\frac{1}{4}\mapsto \frac{5/4}{3/4}=\frac{5}{3},\zeta =-\frac{1}{4}\mapsto \frac{3/4}{5/4}=\frac{3}{5}$$
で交わる。よってこの円は $\left[\frac{3}{5},\frac{5}{3}\right]$ を直径とし、中心 $\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}+\frac{5}{3}\right)=\frac{17}{15}$、半径 $\frac{1}{2}\left(\frac{5}{3}-\frac{3}{5}\right)=\frac{8}{15}$。$\zeta =0\mapsto 1$ が内部にあるので、${\phi }^{-1}(K)$ はこの円で囲まれた閉円板
$$\left\{w|\left|w-\frac{17}{15}\right|\le \frac{8}{15}\right\}$$
である。

最大値. この閉円板上で $\mathrm{Im}w$ の最大値は $\frac{8}{15}$ で、$w=\frac{17}{15}+\frac{8}{15}i$ でとる。この点は $K$ の境界の点 ${\zeta }_0$（$|{\zeta }_0|=\frac{1}{4}$）の像なので、$c=4{\zeta }_0$ として $f(z)=\frac{1+c{z}^2}{1-c{z}^2}$ で実現される。

以上より求める最大値は $\frac{8}{15}$。

ケーリー変換で $\Pi \to \mathbb{D}$ に移す。$f\in \mathcal{F}$ に対し $\phi (z)=\frac{f(z)-1}{f(z)+1}$ とおくと、$\phi :\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ は正則で $\phi (0)=0$。また $f=\frac{1+\phi }{1-\phi }$ から $f^{\prime }(0)=\frac{2{\phi }^{\prime }(0)}{(1-\phi (0){)}^2}=2{\phi }^{\prime }(0)$ なので、$f^{\prime }(0)=0⟺{\phi }^{\prime }(0)=0$。逆に $\phi :\mathbb{D}\to \mathbb{D}$, $\phi (0)={\phi }^{\prime }(0)=0$ なら $f=\frac{1+\phi }{1-\phi }\in \mathcal{F}$。

シュワルツの補題より $\phi (z)=z^2\psi (z)$、$\psi :\mathbb{D}\to \overline{\mathbb{D}}$ 正則（最大値の原理で $|\psi |\le 1$）。よって $w=\phi (1/2)=\frac{1}{4}\psi (1/2)$ は $|w|\le \frac{1}{4}$ の範囲を動き、定数 $\psi \equiv c$（$|c|<1$）で $|w|<\frac{1}{4}$ の任意の値が、$\psi \equiv c$（$|c|=1$）は $\phi =c{z}^2$ で $\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ なので $|w|=\frac{1}{4}$ の値もとれる。

$\mathrm{Im}f(1/2)=\mathrm{Im}\frac{1+w}{1-w}=\frac{2\mathrm{Im}w}{|1-w{|}^2}$ を $|w|\le \frac{1}{4}$ で最大化する。$w\mapsto \frac{1+w}{1-w}$ は一次分数変換で、円板を円板に写すので、虚部の最大値は境界 $|w|=\frac{1}{4}$ でとられる。$w=\frac{1}{4}{e}^{i\theta }$ とおくと
$$\mathrm{Im}f=\frac{\frac{1}{2}\sin \theta }{\frac{17}{16}-\frac{1}{2}\cos \theta }=\frac{8\sin \theta }{17-8\cos \theta }.$$
$\theta$ で微分して $0$ とおくと $\cos \theta (17-8\cos \theta )-8{\sin }^2\theta =17\cos \theta -8=0$、$\cos \theta =\frac{8}{17}$, $\sin \theta =\frac{15}{17}$。このとき
$$\frac{8\cdot \frac{15}{17}}{17-\frac{64}{17}}=\frac{120}{289-64}=\frac{120}{225}=\frac{8}{15}.$$
検算: $w=\frac{1}{4}\cdot \frac{8+15i}{17}=\frac{2+\frac{15}{4}i\cdot \frac{1}{1}}{17}\cdot$ ではなく直接 $w=\frac{8+15i}{68}$、$1-w=\frac{60-15i}{68}$、$|1-w{|}^2=\frac{3600+225}{4624}=\frac{3825}{4624}$、$2\mathrm{Im}w=\frac{30}{68}=\frac{2040}{4624}$、比 $=\frac{2040}{3825}=\frac{8}{15}$。最大値は $\frac{8}{15}$。
（$\theta =\pm \pi /2$ などの他の臨界点では値が小さい。例えば $\theta =\pi /2$ で $8/17<8/15$。）