特殊関数・漸近解析の問題

積分表示. ${\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^n$ は $|x|<1$ で正則なので、$0<r<1$ に対しコーシーの積分公式から
$$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=r}\frac{(1+z{)}^n}{(1-z{)}^n{z}^{n+1}}dz=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(r{e}^{i\theta }{)}^{n}d\theta ,F(z)=\frac{1+z}{z(1-z)}$$
となる（$z=r{e}^{i\theta },dz=izd\theta$）。

鞍点. $\phi (z)=\log F(z)=\log (1+z)-\log (1-z)-\log z$ とおくと
$${\phi }^{\prime }(z)=\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z}=\frac{2}{1-z^2}-\frac{1}{z}.$$
${\phi }^{\prime }(z)=0$ より $2z=1-z^2$、すなわち $z^2+2z-1=0$。$0<z<1$ の解は $z_0=\sqrt{2}-1$ である。そこで $r=z_0$ とする。

$1+z_0=\sqrt{2}$、$1-z_0=2-\sqrt{2}$、$z_0(1-z_0)=(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})=3\sqrt{2}-4$ より
$$F(z_0)=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-4}=\frac{\sqrt{2}(3\sqrt{2}+4)}{18-16}=3+2\sqrt{2}.$$

円周上の最大点. $z=r{e}^{i\theta }$ のとき
$$|F(z){|}^2=\frac{1}{r^2}\cdot \frac{1+r^2+2r\cos \theta }{1+r^2-2r\cos \theta }$$
は $\cos \theta$ について狭義単調増加なので、$|F|$ は $\theta =0$ でのみ最大値 $F(r)=3+2\sqrt{2}$ をとる。したがって $\theta =0$ の近傍以外からの寄与は $(3+2\sqrt{2}-\delta {)}^n$ 程度で、主要項に比べて指数的に小さい。

2 次の展開. $\psi (\theta )=\phi (r{e}^{i\theta })$ とおくと、${\psi }^{\prime }(\theta )=iz{\phi }^{\prime }(z)$、${\psi }^{\prime \prime }(\theta )=-\left(z{\phi }^{\prime }(z)+z^2{\phi }^{\prime \prime }(z)\right)$。
$${\phi }^{\prime \prime }(z)=\frac{4z}{(1-z^2{)}^2}+\frac{1}{z^2}$$
で、$z_0$ では $1-z_0^2=2z_0$ なので ${\phi }^{\prime \prime }(z_0)=\frac{1}{z_0}+\frac{1}{z_0^2}$、よって $z_0^2{\phi }^{\prime \prime }(z_0)=z_0+1=\sqrt{2}$。${\phi }^{\prime }(z_0)=0$ と合わせて
$$\psi (\theta )=\log (3+2\sqrt{2})-\frac{\sqrt{2}}{2}{\theta }^2+O({\theta }^3)(\theta \to 0).$$

ラプラスの方法. 以上より
$$a_n\sim \frac{(3+2\sqrt{2}{)}^n}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}n{\theta }^2}d\theta =\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^n}{2\pi }\sqrt{\frac{2\pi }{\sqrt{2}n}}=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^n}{\sqrt{2\sqrt{2}\pi n}}.$$

よって $\alpha =3+2\sqrt{2}$、$C=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}\pi }}=2^{-3/4}{\pi }^{-1/2}\approx 0.3355$。

（数値確認: $n=3$ のとき $\sqrt{3}{a}_3/(3+2\sqrt{2}{)}^3\approx 38\times 1.732/197.99\approx 0.332$ で、$C$ に近い。）

答えは $\left(3+2\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}\pi }}\right)$。

$a_n=[x^n]{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^n=\frac{1}{2\pi i}\oint h(x{)}^n\frac{dx}{x}$, $h(x)=\frac{1+x}{x(1-x)}$（原点を囲む小さな円周上の積分）。$g=\log h=\log (1+x)-\log x-\log (1-x)$ とおくと $g^{\prime }=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}=\frac{x^2+2x-1}{x(1-x^2)}\cdot (-1)\cdot (-1)$ より、$g^{\prime }=0⟺x^2+2x-1=0$。正の鞍点は $x_0=\sqrt{2}-1$（$0<x_0<1$）。$h(x_0)=\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})}=\frac{1}{(\sqrt{2}-1{)}^2}=3+2\sqrt{2}$。よって $\alpha =3+2\sqrt{2}$。\n\n二階微分: $g^{\prime \prime }=-\frac{1}{(1+x{)}^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(1-x{)}^2}$。$x_0$ で $(1+x_0{)}^2=2$, $1/x_0^2=3+2\sqrt{2}$, $(1-x_0{)}^2=6-4\sqrt{2}$ より $1/(1-x_0{)}^2=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$。したがって $g^{\prime \prime }(x_0)=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}(3+2\sqrt{2})=4+3\sqrt{2}>0$。\n\n円周 $x=x_0{e}^{i\theta }$ 上では $g(x_0{e}^{i\theta })\approx g(x_0)-\frac{1}{2}{g}^{\prime \prime }(x_0)x_0^2{\theta }^2$（実軸方向が最大で、鞍点法が使える）。$dx/x=id\theta$ より\n$a_n\sim \frac{h(x_0{)}^n}{2\pi }\int e^{-n{g}^{\prime \prime }{x}_0^2{\theta }^2/2}d\theta =\frac{h(x_0{)}^n}{x_0\sqrt{2\pi n{g}^{\prime \prime }(x_0)}}$。\n\n$C=\frac{1}{x_0\sqrt{2\pi g^{\prime \prime }}}$、$C^2=\frac{(\sqrt{2}+1{)}^2}{2\pi (4+3\sqrt{2})}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2\pi (4+3\sqrt{2})}$。$\frac{3+2\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}=\frac{(3+2\sqrt{2})(4-3\sqrt{2})}{16-18}=\frac{-\sqrt{2}}{-2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので $C^2=\frac{\sqrt{2}}{4\pi }$、$C=\frac{2^{1/4}}{2\sqrt{\pi }}\approx 0.3355$。\n\n検算: $n=3$ で $C{\alpha }^3/\sqrt{3}\approx 0.3355\times 197.99/1.732\approx 38.4$ で、$a_3=38$ とよく合う。$n=2$ では $0.3355\times 33.97/1.414\approx 8.06$ で $a_2=8$ と合う。