特殊関数・漸近解析の問題

1. 係数を積分で表す. コーシーの積分公式より、原点を囲む円 $|z|=r$ に沿って
$$a_n=[x^n](1+x+x^2{)}^n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=r}\frac{(1+z+z^2{)}^n}{z^{n+1}}dz=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=r}{\left(\frac{1+z+z^2}{z}\right)}^n\frac{dz}{z}$$
である。

2. 鞍点を求める. $f(z)=1+z+z^2$ とおくと $\frac{f(z)}{z}=\frac{1}{z}+1+z$ であり、
$$\frac{d}{dz}\left(\log f(z)-\log z\right)=0⟺\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{z}+1+z\right)=-\frac{1}{z^2}+1=0$$
となる（$\log (f/z)$ の導関数が $0$ になるのは $f/z$ の導関数が $0$ になるとき）。正の実数の解は $z_0=1$ で、$\frac{f(z_0)}{z_0}=3$ である。

3. 鞍点を通る円を積分路にとる. $r=1$、$z=e^{i\theta }(-\pi \le \theta \le \pi )$ とすると $dz/z=id\theta$ であり、
$$\frac{f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }+1+e^{i\theta }=1+2\cos \theta$$
だから
$$a_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(1+2\cos \theta {)}^{n}d\theta$$
となる。$|1+2\cos \theta |\le 3$ で、等号は $\theta =0$ のときだけ成り立つ。$0<\delta \le |\theta |\le \pi$ では $|1+2\cos \theta |\le \max (1+2\cos \delta ,1)<3$ なので、この部分の寄与は $3^n$ に比べて指数的に小さく、主要項は $\theta =0$ の近くから来る。

4. 鞍点の近くでのガウス近似. $\theta =0$ の近くで $\cos \theta =1-\frac{{\theta }^2}{2}+\cdots$ より
$$\log (1+2\cos \theta )=\log \left(3-{\theta }^2+\cdots \right)=\log 3+\log \left(1-\frac{{\theta }^2}{3}+\cdots \right)=\log 3-\frac{{\theta }^2}{3}+\cdots$$
である（$\varphi (\theta )=-\log \frac{1+2\cos \theta }{3}$ とおくと ${\varphi }^{\prime \prime }(0)=\frac{2}{3}$）。よって $\theta =\frac{t}{\sqrt{n}}$ と置換してラプラスの方法を使うと
$$a_n\sim \frac{3^n}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-n{\theta }^2/3}d\theta =\frac{3^n}{2\pi }\sqrt{\frac{3\pi }{n}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{\pi }}\cdot \frac{3^n}{\sqrt{n}}.$$
これは一般形 $a_n\sim \frac{(f(z_0)/z_0{)}^n}{\sqrt{2\pi n{\varphi }^{\prime \prime }(0)}}=\frac{3^n}{\sqrt{4\pi n/3}}$ と一致する。

（確認: $n=10$ のとき $a_{10}=8953$、近似値は $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{10\pi }}\cdot 3^{10}\approx 9124$ で、比は約 $0.98$。）

したがって $(\alpha ,C)=\left(3,\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{\pi }}\right)$。

$a_n$ は $x^{-n}(1+x+x^2{)}^n$ の定数項に等しい。$x=e^{i\theta }$ とおくと $x^{-1}+1+x=1+2\cos \theta$ なので、
$$a_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(1+2\cos \theta {)}^{n}d\theta .$$
$|1+2\cos \theta |$ は $\theta =0$ で最大値 3 をとり、$\theta =\pm 2\pi /3$ で $1+2\cos \theta =0$、$\theta =\pm \pi$ で値は $-1$ であるから、$\theta =0$ 以外では絶対値が 3 より真に小さい。よって主要部は $\theta =0$ 近傍（ラプラス法）。
$\log (1+2\cos \theta )=\log 3+\log \left(1-\frac{{\theta }^2}{3}+O({\theta }^4)\right)=\log 3-\frac{{\theta }^2}{3}+O({\theta }^4)$。
ゆえに
$$a_n\sim \frac{3^n}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-n{\theta }^2/3}d\theta =\frac{3^n}{2\pi }\sqrt{\frac{3\pi }{n}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{\pi }}\cdot \frac{3^n}{\sqrt{n}}.$$
したがって $\alpha =3,C=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{\pi }}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\approx 0.4886$。
検算: $n=3$ で $C{\alpha }^n/\sqrt{n}=0.4886\cdot 27/1.732\approx 7.62$ で、$a_3=7$ に近い。$n=2$ では $0.4886\cdot 9/1.414\approx 3.11$（$a_2=3$）。漸近式と整合する。