複素関数の問題

方針 コーシーの積分公式（導関数の形）を使います。$f$ が単純閉曲線 $C$ とその内部を含む領域で正則で、$a$ が $C$ の内部にあるとき、
$${\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}{f}^{(n)}(a)$$
が成り立ちます。

手順1：公式の形に合わせる 被積分関数 $\frac{\cos (\pi z)}{(z-1{)}^3}$ を見ると、
$$f(z)=\cos (\pi z),a=1,n+1=3\text{より}n=2$$
となります。

手順2：公式が使える条件を確かめる $f(z)=\cos (\pi z)$ は複素平面全体で正則です。また $|a|=|1|=1<2$ なので、$a=1$ は円 $|z|=2$ の内部にあります。したがって公式が使えます。

手順3：$f^{(2)}(a)$ を求める
$$f^{\prime }(z)=-\pi \sin (\pi z),f^{\prime \prime }(z)=-{\pi }^2\cos (\pi z)$$
より
$$f^{\prime \prime }(1)=-{\pi }^2\cos \pi =-{\pi }^2\cdot (-1)={\pi }^2$$
です。

手順4：公式に代入する
$${\oint }_C\frac{\cos (\pi z)}{(z-1{)}^3}dz=\frac{2\pi i}{2!}{f}^{\prime \prime }(1)=\pi i\cdot {\pi }^2={\pi }^{3}i$$

よって答えは ${\pi }^{3}i$ です。

被積分関数 $f(z)=\cos (\pi z)/(z-1{)}^3$ の特異点は $z=1$ のみで、$|1|<2$ なので $C$ の内部にある。コーシーの積分公式（グルサの公式）より、${\oint }_C\frac{g(z)}{(z-a{)}^3}dz=\frac{2\pi i}{2!}{g}^{\prime \prime }(a)$。ここで $g(z)=\cos (\pi z)$、$a=1$。$g^{\prime \prime }(z)=-{\pi }^2\cos (\pi z)$ なので $g^{\prime \prime }(1)=-{\pi }^2\cos \pi ={\pi }^2$。よって積分値は $\frac{2\pi i}{2}{\pi }^2={\pi }^{3}i$。
検算: $\cos (\pi z)=\cos (\pi +\pi (z-1))=-\cos (\pi (z-1))=-1+\frac{{\pi }^2(z-1{)}^2}{2}-\cdots$。$(z-1{)}^{-3}$ で割ると $(z-1{)}^{-1}$ の係数（留数）は ${\pi }^2/2$。したがって $2\pi i\cdot {\pi }^2/2={\pi }^{3}i$。一致する。