複素関数の問題

積分の線形性により、3 つの項に分けて計算する。

1. 基本の積分 ${\oint }_C(z-i{)}^{n}dz$（$n$ は整数）を求める。
円 $|z-i|=2$ を $z=i+2e^{it}(0\le t\le 2\pi )$ とパラメータ表示すると、$dz=2i{e}^{it}dt$ である。よって
$${\oint }_C(z-i{)}^{n}dz={\int }_0^{2\pi }(2e^{it}{)}^n\cdot 2i{e}^{it}dt=2^{n+1}i{\int }_0^{2\pi }{e}^{i(n+1)t}dt.$$
- $n=-1$ のとき、被積分関数は $1$ なので $2^{0}i\cdot 2\pi =2\pi i$。
- $n\ne -1$ のとき、${\int }_0^{2\pi }{e}^{i(n+1)t}dt={\left[\frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)}\right]}_0^{2\pi }=\frac{1-1}{i(n+1)}=0$。

2. 各項を計算する。
- ${\oint }_C\frac{3}{z-i}dz=3\cdot 2\pi i=6\pi i$（$n=-1$ の場合）。
- ${\oint }_C\frac{2}{(z-i{)}^2}dz=2\cdot 0=0$（$n=-2$ の場合）。
- $z^2$ は複素平面全体で正則なので、コーシーの積分定理により ${\oint }_C{z}^{2}dz=0$。

3. まとめる。
$${\oint }_C\left(\frac{3}{z-i}+\frac{2}{(z-i{)}^2}+z^2\right)dz=6\pi i+0+0=6\pi i.$$

各項を別々に積分する。$C$ は中心 $i$、半径 2 の円で、$z=i+2e^{i\theta }$（$0\le \theta \le 2\pi$）とおける。

1. ${\oint }_C\frac{3}{z-i}dz=3\cdot 2\pi i=6\pi i$。これは $z=i$ での留数が 3 であることからも分かる。
2. ${\oint }_C\frac{2}{(z-i{)}^2}dz$ について、$(z-i{)}^{-2}$ の留数は 0 である。また原始関数 $-2/(z-i)$ が $C$ 上で一価なので、閉曲線上の積分は 0 になる。
3. ${\oint }_C{z}^{2}dz$ について、$z^2$ は整関数なのでコーシーの積分定理より 0 になる。

以上より、積分の値は $6\pi i$ である。

検算：パラメータ表示で $z-i=2e^{i\theta }$、$dz=2i{e}^{i\theta }d\theta$ とする。このとき ${\int }_0^{2\pi }\frac{3}{2e^{i\theta }}2i{e}^{i\theta }d\theta =3i\cdot 2\pi =6\pi i$。2 項目は ${\int }_0^{2\pi }\frac{2}{4e^{2i\theta }}2i{e}^{i\theta }d\theta =i{\int }_0^{2\pi }{e}^{-i\theta }d\theta =0$。よって一致する。