複素関数の問題

方針 被積分関数は $(z-i{)}^n$ の形の項の和です。円の中心 $a=i$ に合わせて $C$ をパラメータ表示し、各項を計算します。

1. 積分路のパラメータ表示
$C$ は中心 $i$、半径 $2$ の円を反時計回りに 1 周する曲線なので
$$z=i+2e^{it}(0\le t\le 2\pi ),dz=2i{e}^{it}dt$$
と表せます。このとき $z-i=2e^{it}$ です。

2. $(z-i{)}^n$ の積分（$n$ は整数）
$${\oint }_C(z-i{)}^{n}dz={\int }_0^{2\pi }(2e^{it}{)}^n\cdot 2i{e}^{it}dt=2^{n+1}i{\int }_0^{2\pi }{e}^{i(n+1)t}dt$$
- $n=-1$ のときは $e^0=1$ なので $2^{0}i\cdot 2\pi =2\pi i$ です。
- $n\ne -1$ のときは ${\int }_0^{2\pi }{e}^{i(n+1)t}dt={\left[\frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)}\right]}_0^{2\pi }=\frac{1-1}{i(n+1)}=0$ です。

3. 各項に当てはめる
- 第 1 項 $(z-i{)}^3$ は $n=3$ なので、積分は $0$ です。$(z-i{)}^3$ は複素平面全体で正則な多項式なので、コーシーの積分定理からも $0$ とわかります。
- 第 2 項 $\frac{5}{z-i}=5(z-i{)}^{-1}$ は $n=-1$ なので、積分は $5\cdot 2\pi i=10\pi i$ です。

4. 結果
積分の線形性より、2 つの項の積分を足して
$${\oint }_C\left\{(z-i{)}^3+\frac{5}{z-i}\right\}dz=0+10\pi i=10\pi i$$
となります。

円 $C$ は $z=i+2e^{i\theta }$（$0\le \theta \le 2\pi$）とパラメータ表示できる。被積分関数を項ごとに積分する。

第1項 $(z-i{)}^3$ は整関数で、閉曲線上の積分はコーシーの積分定理より 0 である。直接計算しても ${\int }_0^{2\pi }(2e^{i\theta }{)}^3\cdot 2i{e}^{i\theta }d\theta =16i{\int }_0^{2\pi }{e}^{4i\theta }d\theta =0$ となり一致する。

第2項 $\frac{5}{z-i}$ は $z=i$ で留数 5 の1位の極をもつ。$z=i$ は円の内部にあるので、留数定理より $2\pi i\cdot 5=10\pi i$。直接計算すると ${\int }_0^{2\pi }\frac{5}{2e^{i\theta }}\cdot 2i{e}^{i\theta }d\theta =5i\cdot 2\pi =10\pi i$ となり一致する。

よって積分値は $0+10\pi i=10\pi i$ である。