特殊関数・漸近解析の問題

スターリングの公式
$$m!\sim \sqrt{2\pi m}{\left(\frac{m}{e}\right)}^m(m\to \infty )$$
を用いる（$\sim$ は比が $1$ に収束することを表す）。

分子は $m=3n$ として
$$(3n)!\sim \sqrt{6\pi n}{\left(\frac{3n}{e}\right)}^{3n}=\sqrt{6\pi n}27^n{\left(\frac{n}{e}\right)}^{3n}$$
分母は
$$(n!{)}^3\sim (2\pi n{)}^{3/2}{\left(\frac{n}{e}\right)}^{3n}$$
よって $(n/e{)}^{3n}$ が約分されて
$$M_n\sim 27^n\frac{\sqrt{6\pi n}}{(2\pi n{)}^{3/2}}=27^n\frac{\sqrt{6}\sqrt{\pi }{n}^{1/2}}{2\sqrt{2}{\pi }^{3/2}{n}^{3/2}}=27^n\frac{\sqrt{3}}{2\pi n}$$
したがって
$$\frac{n{M}_n}{27^n}\to \frac{\sqrt{3}}{2\pi }$$
となり、
$$L=\frac{\sqrt{3}}{2\pi }$$
である。

（参考: $\frac{\sqrt{3}}{2\pi }\approx 0.2757$。$n=10$ では $M_{10}=\frac{30!}{(10!{)}^3}=5550996791340$、$27^{10}=205891132094649$ より $\frac{10M_{10}}{27^{10}}\approx 0.2696$ となる。差はスターリングの公式の補正項から生じる $1-\frac{2}{9n}+O(1/n^2)$ 倍の因子によるもので、$n\to \infty$ で消える。）

スターリングの公式 $m!\sim \sqrt{2\pi m}(m/e{)}^m$ を用いる。

$(3n)!\sim \sqrt{6\pi n}(3n/e{)}^{3n}$、$(n!{)}^3\sim (2\pi n{)}^{3/2}(n/e{)}^{3n}$。

よって $M_n\sim 27^n\cdot \frac{\sqrt{6\pi n}}{(2\pi n{)}^{3/2}}=27^n\cdot \frac{\sqrt{6\pi }}{(2\pi {)}^{3/2}}\cdot \frac{1}{n}$。

$\sqrt{6\pi }=\sqrt{3}\sqrt{2\pi }$、$(2\pi {)}^{3/2}=2\pi \sqrt{2\pi }$ より $L=\frac{\sqrt{3}}{2\pi }$。

検算: $n=10$ のとき $M_{10}=30!/(10!{)}^3\approx 2.7753\times 10^{12}$、$27^{10}\approx 2.0589\times 10^{14}$ で $10M_{10}/27^{10}\approx 0.1348\cdots$ ではなく、オーダーを確認すると $M_{10}/27^{10}\approx 0.01348$、$n$ 倍して $0.1348$。収束は $1+O(1/n)$ の補正を伴うが、$n$ が大きいほど $\sqrt{3}/(2\pi )\approx 0.2757$ に近づく（スターリングの補正項 $1/(12m)$ から $1+\frac{1}{36n}-\frac{3}{12n}\cdots$ の形で緩やかに収束する）ことと矛盾しない。