特殊関数・漸近解析の問題

$f(x)=\frac{1}{x}$ とおく。$S_n=\sum _{k=n}^{2n}f(k)-f(n)$ と書き直し, 区間 $[n,2n]$ でオイラー・マクローリンの和公式
$$\sum _{k=n}^{2n}f(k)={\int }_n^{2n}f(x)dx+\frac{f(n)+f(2n)}{2}+\sum _{j=1}^p\frac{B_{2j}}{(2j)!}(f^{(2j-1)}(2n)-f^{(2j-1)}(n))+R_p$$
を使う。ここで $B_2=\frac{1}{6},B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42}$ はベルヌーイ数で, 剰余は $|R_p|\le C_p{\int }_n^{2n}|f^{(2p)}(x)|dx$ と評価できる。

各項の計算.
- 積分: ${\int }_n^{2n}\frac{dx}{x}=\log 2$。
- 端点の項から $f(n)$ を引いたもの: $\frac{f(n)+f(2n)}{2}-f(n)=\frac{f(2n)-f(n)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{4n}$。
- $j=1$: $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ より $f^{\prime }(2n)-f^{\prime }(n)=-\frac{1}{4n^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{3}{4n^2}$。$\frac{B_2}{2!}=\frac{1}{12}$ を掛けて $\frac{1}{16n^2}$。
- $j=2$: $f^{\prime \prime \prime }(x)=-\frac{6}{x^4}$ より $f^{\prime \prime \prime }(2n)-f^{\prime \prime \prime }(n)=-\frac{6}{16n^4}+\frac{6}{n^4}=\frac{45}{8n^4}$。$\frac{B_4}{4!}=-\frac{1}{720}$ を掛けて $-\frac{45}{5760n^4}=-\frac{1}{128n^4}$。
- $j=3$: $f^{(5)}(x)=-\frac{120}{x^6}$ より, この項は $\frac{B_6}{6!}\cdot \frac{120}{n^6}\left(1-\frac{1}{64}\right)=O(n^{-6})$。
- 剰余 ($p=3$): $f^{(6)}(x)=\frac{720}{x^7}$ より ${\int }_n^{2n}|f^{(6)}|dx=O(n^{-6})$。

また, 端点の項・各補正項はどれも $n$ の偶数次・奇数次が決まった形で, $n^{-3}$ の項は現れない。

まとめ.
$$S_n=\log 2-\frac{1}{4n}+\frac{1}{16n^2}+\frac{0}{n^3}-\frac{1}{128n^4}+O\left(\frac{1}{n^6}\right).$$
漸近展開の係数は一意に決まるので
$$(a,b,c,d)=\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{16},0,-\frac{1}{128}\right).$$

数値による確認. $n=2$ のとき $S_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=0.583333\cdots$。一方 $\log 2-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2048}\approx 0.693147-0.125+0.015625-0.000488=0.583284$ で, 差 $0.00005$ は $j=3$ の項 $\frac{1}{30240}\cdot \frac{120}{64}\left(1-\frac{1}{64}\right)\approx 0.00006$ とほぼ一致する。

（別解: $H_m=\log m+\gamma +\frac{1}{2m}-\frac{1}{12m^2}+\frac{1}{120m^4}+O(m^{-6})$ を $S_n=H_{2n}-H_n$ に代入しても同じ結果になる。）

$S_n=H_{2n}-H_n$（$H_m={\sum }_{k=1}^{m}1/k$）。調和数の漸近展開 $H_m=\log m+\gamma +\frac{1}{2m}-\frac{1}{12m^2}+\frac{1}{120m^4}-\cdots$（オイラー・マクローリンの公式、$m^{-3}$ の項はない）を用いる。
$H_{2n}-H_n=\log 2+\left(\frac{1}{4n}-\frac{1}{2n}\right)-\frac{1}{12}\left(\frac{1}{4n^2}-\frac{1}{n^2}\right)+\frac{1}{120}\left(\frac{1}{16n^4}-\frac{1}{n^4}\right)+O(n^{-6})$。
各係数: $a=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$、$b=-\frac{1}{12}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{16}$、$c=0$、$d=\frac{1}{120}\cdot \left(-\frac{15}{16}\right)=-\frac{1}{128}$。
検算: $n=2$ で $S_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=0.583333$。展開は $\log 2-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2048}=0.693147-0.125+0.015625-0.000488=0.583284$ で、誤差 $O(n^{-6})$ 程度と整合する。