和のガウス近似による漸近形

$\sum_{k} (k n)^{3}$ のような和で、最大となる項の付近の各項をスターリングの公式で $c α^{n} e^{- β (k - k_{0})^{2} / n}$ の形に近似し、和をガウス積分に置き換えて、 $A_{n} \sim C \frac{α ^{n}}{n ^{γ}}$ の定数 $(α, γ, C)$ を求められる

前提

スターリングの公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
区分求積法（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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スターリングの公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
区分求積法（数学III 積分法）

説明

$A_{n} = \sum_{k} a_{n, k}$ の形の和で、各項 $a_{n, k}$ が階乗や二項係数の積で書けているとき、 $n \to \infty$ での主要項 $A_{n} \sim C α^{n} n^{- γ}$ を求める方法です。和の値はほぼ「最大の項の付近の、幅 $n$ 程度の範囲の項」だけで決まるので、その範囲で各項をガウス型の関数で近似し、和をガウス積分に置き換えます。 $\sum_{k} (k n)^{r}$ や多項係数の和、ランダムウォークの戻り確率の評価などで使います。

なぜそうしてよいのか

たとえば $a_{k} = (k n)$ を考えます。 $k = p n$ （ $0 < p < 1$ ）とおいてスターリングの公式 $m! \sim 2 π m (m / e)^{m}$ を $n!, k!, (n - k)!$ に使うと
$(k n) \approx \frac{1}{2 π n p ( 1 - p )} e^{n H (p)}, H (p) = - p lo g p - (1 - p) lo g (1 - p)$
となります。指数の $n H (p)$ が支配的で、 $H$ は $p = \frac{1}{2}$ で最大値 $lo g 2$ をとり、 $H^{''} (p) = - \frac{1}{p} - \frac{1}{1 - p}$ より $H^{''} (\frac{1}{2}) = - 4$ です。そこで $k = \frac{n}{2} + j$ とおき、 $H$ を $p = \frac{1}{2}$ のまわりで 2 次までテイラー展開すると $n H (\frac{1}{2} + \frac{j}{n}) \approx n lo g 2 - \frac{2 j ^{2}}{n}$ となり、前の係数は $p = \frac{1}{2}$ での値 $2/ (π n)$ で置き換えられます。こうして
$(\frac{n}{2} + j n) \approx 2^{n} \frac{2}{π n} e^{- 2 j^{2} / n}$
という「ガウス型の形」が得られます。この近似は $∣ j ∣$ が $n^{2/3}$ より十分小さい範囲（3 次の項 $j^{3} / n^{2}$ が無視できる範囲）で正しく、和に効くのは $∣ j ∣ ≲ n$ の範囲なので十分です。

次に、 $e^{- β j^{2} / n}$ は $j$ について幅 $n$ 程度でゆっくり変わる関数なので、刻み 1 の和は区分求積法の考え方で積分とほぼ等しく、ガウス積分を使って
$j \sum e^{- β j^{2} / n} \sim \int_{- \infty}^{\infty} e^{- β x^{2} / n} d x = \frac{π n}{β}$
となります（ $x = n t$ と置換すると $\frac{1}{n} \sum_{j} e^{- β (j / n)^{2}}$ は刻み $\frac{1}{n}$ のリーマン和です。 $j$ が整数でなく半整数をとるなど中心がずれていても、刻みが 0 に近づくので極限は変わりません）。最大の項から離れた項は、 $H$ の最大値が $p = \frac{1}{2}$ だけでとられることから指数的に小さく、和全体には効きません（厳密には、 $∣ j ∣ > n^{0.6}$ の部分が $e^{- c n^{0.2}}$ 倍以下になることと優収束定理で正当化できます）。

したがって、各項を $c n^{- δ} α^{n} e^{- β j^{2} / n}$ と近似できれば、和は「最大の項」×「実質的な項数 $π n / β$ 」となり、 $A_{n} \sim c π / β α^{n} n^{- (δ - 1/2)}$ が得られます。最大の項だけを見るより $n$ の指数が $\frac{1}{2}$ だけ小さくなるのは、この「項数 $\propto n$ 」のためです。

手順

最大となる項の位置 $k_{0}$ を求める。対称性を使うか、各項を $a_{k} \approx e^{n f (k / n)}$ と見て $f$ を最大にする $p_{0}$ を求め $k_{0} = p_{0} n$ とする（ $f^{''} (p_{0}) < 0$ で最大がただ 1 か所であることも確認する）。
$k = k_{0} + j$ とおき、スターリングの公式で各項を近似する。指数部分は $f$ を $p_{0}$ のまわりで 2 次まで展開し、前の係数は $p = p_{0}$ での値に置き換えて $a_{k_{0} + j} \approx c n^{- δ} α^{n} e^{- β j^{2} / n}$ の形にする（項が積やべきなら、指数部分も係数もそのまま掛け合わせる）。
和をガウス積分に置き換える: $j \sum e^{- β j^{2} / n} \sim \int_{- \infty}^{\infty} e^{- β x^{2} / n} d x = \frac{π n}{β}$ 。
掛け合わせて $A_{n} \sim c \frac{π}{β} \frac{α ^{n}}{n ^{δ - 1/2}}$ とし、 $α$ 、 $γ = δ - \frac{1}{2}$ 、 $C = c π / β$ を読み取る。
検算する。たとえば $\sum_{k} (k n)^{2} = (n 2 n) \sim \frac{4 ^{n}}{π n}$ のように、既知の式と一致する特別な場合で同じ計算を確かめる。

例題

$A_{n} = k = 0 \sum n (k n)^{3}$ について、 $n \to \infty$ で $A_{n} \sim C \frac{α ^{n}}{n ^{γ}}$ となる定数 $α > 0, γ, C > 0$ を求め、組 $(α, γ, C)$ で答えよ。

例題の解答

【手順 1】 $(k n)^{3}$ は $k \mapsto n - k$ で対称で、 $(k n) \approx e^{n H (k / n)}$ の $H (p) = - p lo g p - (1 - p) lo g (1 - p)$ は $p = \frac{1}{2}$ だけで最大（ $H^{''} (\frac{1}{2}) = - 4 < 0$ ）なので、最大の項は $k_{0} = \frac{n}{2}$ 付近にある。

【手順 2】 $k = \frac{n}{2} + j$ とおく。スターリングの公式と $H$ の 2 次までの展開（上の「考え方」）から
$(\frac{n}{2} + j n) \approx 2^{n} \frac{2}{π n} e^{- 2 j^{2} / n} .$
これを 3 乗すると、係数も指数もそれぞれ 3 乗されて
$(\frac{n}{2} + j n)^{3} \approx 8^{n} (\frac{2}{π})^{3/2} n^{- 3/2} e^{- 6 j^{2} / n} .$
つまり $c = (2/ π)^{3/2}$ 、 $δ = \frac{3}{2}$ 、 $α = 8$ 、 $β = 6$ である。

【手順 3】 $j \sum e^{- 6 j^{2} / n} \sim \int_{- \infty}^{\infty} e^{- 6 x^{2} / n} d x = \frac{π n}{6}$ 。

【手順 4】掛け合わせると
$A_{n} \sim 8^{n} \frac{2 ^{3/2}}{π ^{3/2} n ^{3/2}} \cdot \frac{π n}{6} = \frac{2 2}{6 π} \cdot \frac{8 ^{n}}{n} = \frac{2}{3 π} \cdot \frac{8 ^{n}}{n} .$
よって $α = 8$ 、 $γ = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ 、 $C = \frac{2}{3 π}$ 。

【手順 5】同じ計算を 2 乗で行うと $4^{n} \cdot \frac{2}{π n} \cdot \frac{π n}{4} = \frac{4 ^{n}}{π n}$ となり、 $(n 2 n)$ の漸近形と一致するので、手順は正しい。

答え: $(8, 1, \frac{2}{3 π})$

よくある誤り

和を最大の項だけで近似してしまう誤り。 $\sum_{k} (k n)^{3} \approx (n /2 n)^{3} \sim 8^{n} (\frac{2}{π n})^{3/2}$ とすると $γ = \frac{3}{2}$ になってしまう。正しくは、効いている項が約 $π n /6$ 個あるので $γ = 1$ になる。
ガウス積分で $n$ の倍率を落とす誤り。 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- β x^{2} / n} d x = π / β$ としてしまう。正しくは $x = n t$ と置換して $π n / β$ である。
べき乗したときに指数の係数をそのままにしてしまう誤り。 $(n /2 + j n)^{3} \approx 8^{n} (\dots) e^{- 2 j^{2} / n}$ とするのは誤りで、正しくは $(e^{- 2 j^{2} / n})^{3} = e^{- 6 j^{2} / n}$ であり、係数 $2/ (π n)$ も 3 乗して $(2/ (π n))^{3/2}$ にする。
スターリングの公式を粗い形 $lo g m! \approx m lo g m - m$ だけで使ってしまう誤り。これでは $α = 8$ は出ても、 $2 π m$ の因子が落ちて $γ$ と $C$ が求まらない。正しくは $m! \sim 2 π m (m / e)^{m}$ を使い、 $(n /2 n) \sim 2^{n} 2/ (π n)$ まで求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正の整数 $n$ に対し
$A_{n} = k = 0 \sum n (k n)^{4}$
とおく（たとえば $A_{1} = 2, A_{2} = 18$ ）。極限
$L = n \to \infty lim \frac{n ^{3/2} A _{n}}{1 6 ^{n}}$
は存在して正の実数になる。 $L$ の値を求めよ。

和のガウス近似による漸近形

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題