解析的整数論の問題

オイラー積. $f(n)=\chi (n)2^{\omega (n)}$ は乗法的関数であり、$|f(n)|\le d(n)$（約数の個数）なので $S$ は絶対収束し、オイラー積に分解できる。素数 $p$ について $x=\chi (p)p^{-3}$ とおくと $f(p^k)=2\chi (p{)}^k$ ($k\ge 1$) より
$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{f(p^k)}{p^{3k}}=1+\frac{2x}{1-x}=\frac{1+x}{1-x}=\frac{1-x^2}{(1-x{)}^2}.$$
したがって
$$S=\prod _p\frac{1-\chi (p{)}^2{p}^{-6}}{(1-\chi (p)p^{-3}{)}^2}=\frac{L(3,\chi {)}^2}{L(6,{\chi }^2)}.$$
ここで ${\chi }^2$ は法 $3$ の単位指標なので
$$L(6,{\chi }^2)=\prod _{p\ne 3}(1-p^{-6}{)}^{-1}=\left(1-3^{-6}\right)\zeta (6)=\frac{728}{729}\cdot \frac{{\pi }^6}{945}.$$

$L(3,\chi )$ の計算. $\chi (n)=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin \frac{2\pi n}{3}$ が全ての整数 $n$ で成り立つ（$n\equiv 0,1,2$ を代入すると $0,1,-1$）。また、ベルヌーイ多項式 $B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x$ のフーリエ展開
$$B_k(x)=-\frac{k!}{(2\pi i{)}^k}\sum _{n\ne 0}\frac{e^{2\pi inx}}{n^k}(0\le x\le 1,k\ge 2)$$
で $k=3$ とすると $\sum _{n\ne 0}\frac{e^{2\pi inx}}{n^3}=2i\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin 2\pi nx}{n^3}$, $(2\pi i{)}^3=-8{\pi }^{3}i$ より
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin 2\pi nx}{n^3}=\frac{2{\pi }^3}{3}{B}_3(x).$$
$x=\frac{1}{3}$ のとき $B_3\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{27}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{27}$ なので
$$L(3,\chi )=\frac{2}{\sqrt{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (2\pi n/3)}{n^3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2{\pi }^3}{3}\cdot \frac{1}{27}=\frac{4{\pi }^3}{81\sqrt{3}}.$$
（数値的にも $L(3,\chi )=1-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}-\frac{1}{125}+\cdots \approx 0.8840$ で一致する。）

結論. $L(3,\chi {)}^2=\frac{16{\pi }^6}{81^2\cdot 3}=\frac{16{\pi }^6}{19683}$ だから
$$S=\frac{16{\pi }^6}{19683}\cdot \frac{729\cdot 945}{728{\pi }^6}=\frac{16\cdot 945}{27\cdot 728}=\frac{16\cdot 35}{728}=\frac{560}{728}=\frac{10}{13}.$$
（$19683=27\cdot 729$ を用いた。）

答え: $\frac{10}{13}$

$f(n)=\chi (n)2^{\omega (n)}$ は乗法的で、絶対収束する（$|f(n)|\le d(n)$ なので $\sum d(n)n^{-3}<\infty$）。オイラー積で表す。\n\n素数 $p\ne 3$ で $x=\chi (p)p^{-3}$ とおくと、局所因子は $1+2{\sum }_{k\ge 1}{x}^k=1+\frac{2x}{1-x}=\frac{1+x}{1-x}=\frac{1-x^2}{(1-x{)}^2}$。$p=3$ では $\chi (3)=0$ なので因子は 1。\n\n$x^2=\chi (p{)}^2{p}^{-6}=p^{-6}$（$p\ne 3$）なので\n$S={\prod }_{p\ne 3}\frac{1-p^{-6}}{(1-\chi (p)p^{-3}{)}^2}=\frac{L(3,\chi {)}^2}{{\prod }_{p\ne 3}(1-p^{-6}{)}^{-1}}=\frac{L(3,\chi {)}^2}{\zeta (6)(1-3^{-6})}$。\n\n$L(3,\chi )=\sum \chi (n)n^{-3}$ は奇指標の値で、$L(3,\chi )=\frac{4{\pi }^3}{81\sqrt{3}}$（偶奇が合う奇数 $s=3$ の値；一般化ベルヌーイ数 $B_{3,\chi }$ から得られる）。数値では $\frac{4{\pi }^3}{81\sqrt{3}}\approx 0.8840$ で、級数 $1-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}-\frac{1}{125}+\cdots \approx 0.884$ と一致。\n\n$L(3,\chi {)}^2=\frac{16{\pi }^6}{81^2\cdot 3}=\frac{16{\pi }^6}{19683}$。$\zeta (6)(1-3^{-6})=\frac{{\pi }^6}{945}\cdot \frac{728}{729}$。\n\n$S=\frac{16{\pi }^6}{19683}\cdot \frac{945\cdot 729}{728{\pi }^6}$。$19683=27\cdot 729$ なので $S=\frac{16\cdot 945}{27\cdot 728}=\frac{16\cdot 35}{728}=\frac{560}{728}=\frac{10}{13}$。\n\n検算（数値）：$n=1,2,4,5,7,8,10,11$ の項は $1-0.25+0.03125-0.016+0.00583-0.0039+0.004-0.0015\approx 0.7697$。$\frac{10}{13}\approx 0.7692$ と一致。