指標でひねったディリクレ級数

$χ (n) f (n)$ や $λ (n) f (n)$ を係数とする級数をオイラー積で $L$ 関数やゼータ関数の積・商に直せる（例: $\sum \frac{χ ( n ) 2 ^{ω (n)}}{n ^{s}} = \frac{L ( s , χ ) ^{2}}{L ( 2 s , χ ^{2} )}$ , $\sum \frac{λ ( n )}{n ^{s}} = \frac{ζ ( 2 s )}{ζ ( s )}$ ）

前提

ディリクレ指標の定義と値（大学院数学解析的整数論）
有限個のオイラー因子の除去と交代ゼータ（大学院数学解析的整数論）

この技能までの道筋（116 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
群の表現と指標（大学院数学表現論）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）
方程式 $z^{n} = a$ の解（数学C 複素数平面）
1 次元表現とアーベル化（大学院数学表現論）
ディリクレ指標の定義と値（大学院数学解析的整数論）
互いに素な法への分解（数学A 整数の性質）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
包除原理（数学A 場合の数と確率）
オイラー関数の計算（大学数学整数論）
約数の個数と総和（数学A 整数の性質）
乗法的関数と約数にわたる和（大学数学整数論）
メビウス関数と反転公式（大学数学整数論）
ディリクレ級数とオイラー積（大学院数学解析的整数論）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
区分求積法（数学III 積分法）
オイラー・マクローリンの和公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
2 数を解とする 2 次方程式と複素数の範囲の因数分解（数学II 複素数と方程式）
正弦関数の無限積表示と無限積の値（大学院数学複素解析・リーマン面）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
$π cot π z$ の部分分数展開と級数の和（大学院数学複素解析・リーマン面）
リーマンゼータ関数の特殊値（大学院数学解析的整数論）
有限個のオイラー因子の除去と交代ゼータ（大学院数学解析的整数論）

説明

法 $q$ のディリクレ指標 $χ$ （ $g cd (n, q) > 1$ なら $χ (n) = 0$ と拡張したもの）に対し、 $L (s, χ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{χ ( n )}{n ^{s}}$ （ $Re s > 1$ ）を $L$ 関数とよびます。この技能では、係数に $χ (n)$ やリウヴィル関数 $λ (n) = (- 1)^{Ω (n)}$ （ $Ω (n)$ は重複を込めた素因数の個数）が掛かった級数 $\sum \frac{χ ( n ) f ( n )}{n ^{s}}$ 、 $\sum \frac{λ ( n ) f ( n )}{n ^{s}}$ を、オイラー積を経由して $L$ 関数やゼータ関数の積・商で表します。 $ζ$ のときに知っている恒等式を「ひねった」版に一斉に書き換えられるので、級数の値の計算や、 $L$ 関数の言葉での言い換えに使います。

なぜそうしてよいのか

鍵は $χ$ が完全乗法的（ $χ (mn) = χ (m) χ (n)$ がすべての $m, n$ で成り立つ）であることです。 $f$ が乗法的なら $χ f$ も乗法的なので、 $Re s$ が十分大きく級数が絶対収束する範囲でオイラー積
$n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n ) f ( n )}{n ^{s}} = p \prod a \geq 0 \sum χ (p^{a}) f (p^{a}) p^{- a s} = p \prod a \geq 0 \sum f (p^{a}) (χ (p) p^{- s})^{a}$
が成り立ちます。ここで $χ (p^{a}) = χ (p)^{a}$ を使いました。つまり、ひねらない場合の素数ごとの母関数 $F_{p} (X) = \sum_{a \geq 0} f (p^{a}) X^{a}$ に、 $X = p^{- s}$ の代わりに $X = χ (p) p^{- s}$ を代入すればよいのです。

一方、 $χ^{j}$ （ $n \mapsto χ (n)^{j}$ ）も法 $q$ のディリクレ指標なので、 $L (j s, χ^{j}) = \prod_{p} (1 - χ (p)^{j} p^{- j s})^{- 1}$ です。したがって $F_{p} (X)$ が $(1 - X)$ , $(1 - X^{2})$ , $(1 + X) = \frac{1 - X ^{2}}{1 - X}$ などのべきの積・商で書けていれば、代入後の各因子は $1 - χ (p)^{j} p^{- j s}$ の形になり、全素数にわたる積が $L (j s, χ^{j})$ の積・商にまとまります。 $p ∣ q$ では $χ (p) = 0$ なので $X = 0$ を代入したことになり、因子は $F_{p} (0) = 1$ で、両辺で矛盾なく消えます。

$λ$ でひねる場合も同じで、 $λ$ は完全乗法的で $λ (p) = - 1$ なので $X = - p^{- s}$ を代入します。 $- X$ を代入すると $1 - X$ は $1 + X = \frac{1 - X ^{2}}{1 - X}$ に、 $1 - X^{2}$ は変わらないので、 $ζ (s)$ は $\frac{ζ ( 2 s )}{ζ ( s )}$ に、 $ζ (2 s)$ は $ζ (2 s)$ のままになります。例えば $f = 1$ なら $\sum \frac{λ ( n )}{n ^{s}} = \prod_{p} \frac{1}{1 + p ^{- s}} = \frac{ζ ( 2 s )}{ζ ( s )}$ （ $Re s > 1$ ）です。

手順

係数 $χ (n) f (n)$ （または $λ (n) f (n)$ ）が乗法的であることと、考える $s$ で級数が絶対収束することを確かめる
ひねらない $f$ の素数ごとの母関数 $F_{p} (X) = \sum_{a \geq 0} f (p^{a}) X^{a}$ を計算し、 $(1 - X^{j})^{\pm 1}$ の積・商の形に直す（例: $f = 2^{ω}$ なら $F_{p} (X) = \frac{1 + X}{1 - X} = \frac{1 - X ^{2}}{( 1 - X ) ^{2}}$ ）
$X = χ (p) p^{- s}$ （ $λ$ なら $X = - p^{- s}$ ）を代入する。 $1 - X^{j}$ は $1 - χ (p)^{j} p^{- j s}$ になる
全素数の積をとり、 $\prod_{p} (1 - χ (p)^{j} p^{- j s})^{- 1} = L (j s, χ^{j})$ でまとめる。 $χ^{j}$ が単位指標 $χ_{0}$ になるときは $L (s, χ_{0}) = \prod_{p ∣ q} (1 - p^{- s}) ζ (s)$ を使う
必要なら $L$ 関数・ゼータ関数の値を代入して数値を求める

例題

$χ$ を法 4 の単位指標でないディリクレ指標（ $χ (n) = 1 (n \equiv 1), - 1 (n \equiv 3), 0 (n 偶数)$ ）、 $ω (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数（ $ω (1) = 0$ ）とする。 $L (3, χ) = \frac{π ^{3}}{32}$ と $ζ (6) = \frac{π ^{6}}{945}$ を用いて、 $n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n ) 2 ^{ω (n)}}{n ^{3}}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $2^{ω (n)}$ は乗法的、 $χ$ は完全乗法的なので係数 $χ (n) 2^{ω (n)}$ は乗法的。 $2^{ω (n)} \leq τ (n) \leq n$ より $\sum \frac{2 ^{ω (n)}}{n ^{3}} \leq \sum \frac{1}{n ^{2}} < \infty$ で、絶対収束する。

【手順 2】 $f (p^{a}) = 2^{ω (p^{a})}$ は $a = 0$ で 1、 $a \geq 1$ で 2 なので
$F_{p} (X) = 1 + 2 a \geq 1 \sum X^{a} = 1 + \frac{2 X}{1 - X} = \frac{1 + X}{1 - X} = \frac{1 - X ^{2}}{( 1 - X ) ^{2}} .$

【手順 3】 $X = χ (p) p^{- 3}$ を代入して、素数 $p$ の因子は $\frac{1 - χ ( p ) ^{2} p ^{- 6}}{( 1 - χ ( p ) p ^{- 3} ) ^{2}}$ 。

【手順 4】全素数で積をとると
$n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n ) 2 ^{ω (n)}}{n ^{3}} = \frac{L ( 3 , χ ) ^{2}}{L ( 6 , χ ^{2} )} .$
$χ^{2}$ は法 4 の単位指標 $χ_{0}$ （奇数で 1、偶数で 0）なので $L (6, χ^{2}) = (1 - 2^{- 6}) ζ (6) = \frac{63}{64} \cdot \frac{π ^{6}}{945} = \frac{π ^{6}}{960}$ 。

【手順 5】 $L (3, χ)^{2} = \frac{π ^{6}}{1024}$ より
$n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n ) 2 ^{ω (n)}}{n ^{3}} = \frac{π ^{6} /1024}{π ^{6} /960} = \frac{960}{1024} = \frac{15}{16} .$

答え: $\frac{15}{16}$

よくある誤り

2 乗の因子で指標をひねり忘れ、 $\sum \frac{χ ( n ) 2 ^{ω (n)}}{n ^{s}} = \frac{L ( s , χ ) ^{2}}{ζ ( 2 s )}$ や $\frac{L ( s , χ ) ^{2}}{L ( 2 s , χ )}$ としてしまう誤り。正しくは $X^{2} = χ (p)^{2} p^{- 2 s}$ なので分母は $L (2 s, χ^{2})$ 。
$χ^{2}$ が単位指標のとき $L (2 s, χ^{2}) = ζ (2 s)$ としてしまう誤り。単位指標 $χ_{0}$ は $g cd (n, q) > 1$ で 0 なので、 $L (2 s, χ_{0}) = \prod_{p ∣ q} (1 - p^{- 2 s}) ζ (2 s)$ 。法 4 なら $L (6, χ_{0}) = (1 - 2^{- 6}) ζ (6)$ 。
$λ$ と $μ^{2}$ を取り違え、 $\sum \frac{λ ( n )}{n ^{s}} = \frac{ζ ( s )}{ζ ( 2 s )}$ としてしまう誤り。 $\frac{ζ ( s )}{ζ ( 2 s )}$ は $\prod_{p} (1 + p^{- s}) = \sum \frac{μ ^{2} ( n )}{n ^{s}}$ で、正しくは $\sum \frac{λ ( n )}{n ^{s}} = \prod_{p} \frac{1}{1 + p ^{- s}} = \frac{ζ ( 2 s )}{ζ ( s )}$ 。
$χ (p^{a})$ を $χ (p)$ のままにして $F_{p} (X)$ の $X^{a}$ に $p^{- a s}$ だけを代入してしまう誤り（例: $\sum_{a} f (p^{a}) χ (p) p^{- a s}$ ）。完全乗法性から $χ (p^{a}) = χ (p)^{a}$ なので、正しくは $X = χ (p) p^{- s}$ を丸ごと代入して $\sum_{a} f (p^{a}) χ (p)^{a} p^{- a s}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正の整数 $n$ に対し、 $ω (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数（ $ω (1) = 0$ ）、 $λ (n)$ をリウヴィル関数とする。すなわち $n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{r}^{e_{r}}$ （ $p_{i}$ は相異なる素数）と素因数分解するとき $λ (n) = (- 1)^{e_{1} + \dots + e_{r}}$ とし、 $λ (1) = 1$ とする。無限級数 $n = 1 \sum \infty \frac{λ ( n ) 2 ^{ω (n)}}{n ^{2}}$ の値を求めよ。ただし $ζ (2) = \frac{π ^{2}}{6}$ , $ζ (4) = \frac{π ^{4}}{90}$ を用いてよい。

指標でひねったディリクレ級数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題