解析的整数論の問題

収束とオイラー積 $|\lambda (n)2^{\omega (n)}|=2^{\omega (n)}\le d(n)$ であり $\sum d(n)n^{-2}=\zeta (2{)}^2$ は収束するので、級数は絶対収束する。$\lambda$ は完全乗法的、$2^{\omega (n)}$ は乗法的なので、その積 $f(n)=\lambda (n)2^{\omega (n)}$ も乗法的である。よって $\mathrm{Re}s>1$ で
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f(n)}{n^s}=\prod _p\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{f(p^k)}{p^{ks}}\right).$$

素数ごとの因子 $f(1)=1$, $k\ge 1$ のとき $f(p^k)=(-1{)}^k\cdot 2$ である。$x=p^{-s}$（$|x|<1$）とおくと
$$\sum _{k=0}^{\infty }f(p^k)x^k=1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-x{)}^k=1+\frac{-2x}{1+x}=\frac{1-x}{1+x}.$$
分母・分子に $1-x$ を掛けると
$$\frac{1-x}{1+x}=\frac{(1-x{)}^2}{1-x^2}.$$

ゼータ関数で表す $\zeta (s)={\prod }_p(1-p^{-s}{)}^{-1}$, $\zeta (2s)={\prod }_p(1-p^{-2s}{)}^{-1}$ だから
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda (n)2^{\omega (n)}}{n^s}=\prod _p\frac{(1-p^{-s}{)}^2}{1-p^{-2s}}=\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s{)}^2}.$$

$s=2$ を代入
$$\frac{\zeta (4)}{\zeta (2{)}^2}=\frac{{\pi }^4/90}{{\pi }^4/36}=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}.$$

$f(n)=\lambda (n)2^{\omega (n)}$ は乗法的で、素数冪 $p^k$（$k\ge 1$）で $f(p^k)=(-1{)}^k\cdot 2$、$f(1)=1$。絶対収束（$|f(n)|\le 2^{\omega (n)}=O(n^{\epsilon })$、$\sigma =2>1$）するのでオイラー積に展開できる。

$x=p^{-2}$ とおくと、各素数での因子は
$$1+2\sum _{k\ge 1}(-x{)}^k=1+\frac{-2x}{1+x}=\frac{1-x}{1+x}.$$
$\frac{1-x}{1+x}=\frac{(1-x{)}^2}{1-x^2}$ なので
$$\prod _p\frac{(1-p^{-2}{)}^2}{1-p^{-4}}=\frac{\zeta (4)}{\zeta (2{)}^2}(\because {\prod }_p(1-p^{-s}{)}^{-1}=\zeta (s)).$$
$\zeta (4)/\zeta (2{)}^2=\frac{{\pi }^4/90}{{\pi }^4/36}=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}$。

検算: 最初の数項 $1-\frac{2}{4}-\frac{2}{9}+\frac{4}{16}\cdot (\lambda (6)=1,\omega =2)$ ではなく $n=4$: $\lambda =1,\omega =1$ より $+\frac{2}{16}$、$n=6$: $\lambda =1,\omega =2$ より $+\frac{4}{36}$ 等を足していくと $1-0.5-0.222+0.125-0.08+0.111\cdots$ のように $0.4$ 付近で振動しつつ収束する傾向と整合する。各素数因子 $p=2$: $(1-1/4)/(1+1/4)=0.6$、$p=3$: $(8/9)/(10/9)=0.8$、積 $0.48$、$p=5$: $(24/26)$ をかけて約 $0.443$、さらに小さな因子で $0.4$ に近づく。