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解析的整数論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学解析的整数論

正の整数 $n$ に対し、 $d (n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。 $ζ (2) = \frac{π ^{2}}{6}$ 、 $ζ (4) = \frac{π ^{4}}{90}$ を用いてよい。級数
$S = n = 1 n は奇数 \sum \infty \frac{d ( n ) ^{2}}{n ^{2}}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

ディリクレ級数とオイラー積（説明と入口の問題）
有限個のオイラー因子の除去と交代ゼータ（説明と入口の問題）
リーマンゼータ関数の特殊値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（92 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$d (n)^{2}$ が乗法的関数であることを使い、ディリクレ級数をオイラー積で表しましょう。奇数に制限することは、素数 $2$ の局所因子を取り除くことにあたります。

ヒント 2

局所因子は $\sum_{k \geq 0} (k + 1)^{2} X^{k} = \frac{1 + X}{( 1 - X ) ^{3}} = \frac{1 - X ^{2}}{( 1 - X ) ^{4}}$ （ $X = p^{- s}$ ）です。

ヒント 3

全体のディリクレ級数は $\frac{ζ ( s ) ^{4}}{ζ ( 2 s )}$ となり、奇数に制限すると $\frac{ζ ( s ) ^{4}}{ζ ( 2 s )} \cdot \frac{( 1 - 2 ^{- s} ) ^{4}}{1 - 2 ^{- 2 s}}$ です。あとは $s = 2$ を代入します。

答えと解説

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\frac{3 π ^{4}}{128}

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解説を読む

方針 $d (n)^{2}$ は乗法的関数なので、そのディリクレ級数をオイラー積で表し、素数 $2$ の因子を取り除く。

1. 素数べきでの値と局所因子 素数 $p$ と $k \geq 0$ に対して $d (p^{k}) = k + 1$ なので $d (p^{k})^{2} = (k + 1)^{2}$ である。 $∣ X ∣ < 1$ のとき
$k = 0 \sum \infty X^{k} = \frac{1}{1 - X}, k = 0 \sum \infty (k + 1) X^{k} = \frac{1}{( 1 - X ) ^{2}}, k = 0 \sum \infty \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2} X^{k} = \frac{1}{( 1 - X ) ^{3}}$
が成り立つ。 $(k + 1)^{2} = 2 \cdot \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2} - (k + 1)$ だから
$k = 0 \sum \infty (k + 1)^{2} X^{k} = \frac{2}{( 1 - X ) ^{3}} - \frac{1}{( 1 - X ) ^{2}} = \frac{1 + X}{( 1 - X ) ^{3}} = \frac{1 - X ^{2}}{( 1 - X ) ^{4}} .$

2. オイラー積 任意の $ε > 0$ に対して $d (n) = O (n^{ε})$ であるから $d (n)^{2} = O (n^{2 ε})$ である。 $Re s > 1$ のとき $2 ε < Re s - 1$ となる $ε$ をとれば $\sum d (n)^{2} n^{- s}$ は絶対収束する。さらに $d (n)^{2}$ は乗法的なので、この級数はオイラー積に分解できる。 $X = p^{- s}$ とおくと
$n = 1 \sum \infty \frac{d ( n ) ^{2}}{n ^{s}} = p \prod \frac{1 - p ^{- 2 s}}{( 1 - p ^{- s} ) ^{4}} = \frac{ζ ( s ) ^{4}}{ζ ( 2 s )} .$

3. 奇数に制限する 奇数 $n$ に制限した級数は、オイラー積から $p = 2$ の因子を除いたものである：
$n 奇数 \sum \frac{d ( n ) ^{2}}{n ^{s}} = \frac{ζ ( s ) ^{4}}{ζ ( 2 s )} \cdot \frac{( 1 - 2 ^{- s} ) ^{4}}{1 - 2 ^{- 2 s}} .$

4. $s = 2$ を代入
$\frac{ζ ( 2 ) ^{4}}{ζ ( 4 )} = \frac{π ^{8} /1296}{π ^{4} /90} = \frac{90 π ^{4}}{1296} = \frac{5 π ^{4}}{72} .$
また
$\frac{( 1 - \frac{1}{4} ) ^{4}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{81/256}{15/16} = \frac{81}{240} = \frac{27}{80} .$
よって
$S = \frac{5 π ^{4}}{72} \cdot \frac{27}{80} = \frac{135 π ^{4}}{5760} = \frac{3 π ^{4}}{128} .$

（検算： $\frac{3 π ^{4}}{128} \approx 2.28$ 。初めの数項 $1 + \frac{4}{9} + \frac{4}{25} + \frac{4}{49} + \frac{9}{81} + \dots$ の部分和とも矛盾しない。）

答え： $S = \frac{3 π ^{4}}{128}$

別解

$d$ は乗法的なので、 $\sum_{n \geq 1} d (n)^{2} n^{- s} = \prod_{p} \frac{1 + p ^{- s}}{( 1 - p ^{- s} ) ^{3}} = \frac{ζ ( s ) ^{4}}{ζ ( 2 s )}$ である。各素数 $p$ の因子は $\sum_{k \geq 0} (k + 1)^{2} x^{k} = \frac{1 + x}{( 1 - x ) ^{3}}$ （ $x = p^{- s}$ ）であり、これは $\frac{1 - x ^{2}}{( 1 - x ) ^{4}}$ に等しい。

奇数 $n$ のみの和は、 $p = 2$ のオイラー因子 $\frac{1 - 2 ^{- 2 s}}{( 1 - 2 ^{- s} ) ^{4}}$ を取り除けばよい。したがって
$S = \frac{ζ ( s ) ^{4}}{ζ ( 2 s )} \cdot \frac{( 1 - 2 ^{- s} ) ^{4}}{1 - 2 ^{- 2 s}} (s = 2) .$

$\frac{ζ ( 2 ) ^{4}}{ζ ( 4 )} = \frac{π ^{8} /1296}{π ^{4} /90} = \frac{5 π ^{4}}{72}$ である。

$p = 2$ の因子の逆数は $\frac{( 3/4 ) ^{4}}{15/16} = \frac{81}{256} \cdot \frac{16}{15} = \frac{27}{80}$ である。

よって $S = \frac{5 π ^{4}}{72} \cdot \frac{27}{80} = \frac{3 π ^{4}}{128} \approx 2.283$ となる。

検算として、 $n = 21$ までの部分和は約 1.99 で、残りの項を足せば 2.28 程度になることと矛盾しない。

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