解析的整数論

正の整数 $n$ に対し、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。また $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ とし、$$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (8)=\frac{{\pi }^8}{9450}$$ を用いてよい。無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^{\omega (n)}}{n^4}$$ は収束する。$S$ の値を求めよ。

$\zeta (s)$ をリーマンゼータ関数（$\mathrm{Re}s>1$ で $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$ と定め、$s=1$ を除く複素平面全体に有理型に解析接続したもの）とする。ベルヌーイ数 $B_k$ を $$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{B}_k\frac{x^k}{k!}$$ で定め、$B_2=\frac{1}{6},B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42}$ を用いてよい。$\zeta (-5)$ の値を求めよ。

法 $5$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、整数 $n$ に対して $5\nmid n$ のとき $\chi (n)=\chi (n\mathrm{mod}5)$、$5\mid n$ のとき $\chi (n)=0$ と定めて整数全体に延ばしたものとする。$i$ を虚数単位とし、法 $5$ のディリクレ指標 $\chi$ が $\chi (2)=i$ を満たすとする。このとき $$S=\sum _{n=1}^{4}n\chi (n)$$ の値を求めよ。

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$（$s>1$）とし、$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。$6$ と互いに素な正の整数 $n$ 全体にわたる無限級数 $$S=\sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ \gcd (n,6)=1\end{array}}\frac{1}{n^2}$$ の値を求めよ。

法 $15$ のディリクレ指標 $\chi$ を、$\gcd (n,15)>1$ のとき $\chi (n)=0$ とし、$\gcd (n,15)=1$ のときは $n$ を $15$ で割った余りに応じて次の表で定める。
$$\begin{array}{ccccccccc}n\mathrm{mod}15& 1& 2& 4& 7& 8& 11& 13& 14\\ \chi (n)& 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\end{array}$$
ここで、$\chi$ の導手とは、$15$ の正の約数 $d$ であって「$\gcd (n,15)=1$ かつ $n\equiv 1(\mathrm{mod}d)$ ならば $\chi (n)=1$」を満たすもののうち最小のものをいう。$\chi$ の導手を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、${\sigma }_3(n)={\sum }_{d\mid n}{d}^3$ を $n$ の正の約数の $3$ 乗の総和とする。正の実数 $x$ に対して $$S(x)=\sum _{1\le n\le x}{\sigma }_3(n)$$ とおく。極限 $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x^4}$$ を求めよ。ただし $\zeta (4)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数（$\omega (1)=0$）、$\lambda (n)$ をリウヴィル関数とする。すなわち $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$（$p_i$ は相異なる素数）と素因数分解するとき $\lambda (n)=(-1{)}^{e_1+\cdots +e_r}$ とし、$\lambda (1)=1$ とする。無限級数 $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda (n)2^{\omega (n)}}{n^2}$$ の値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$, $\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

$\chi$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して $$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,7(\mathrm{mod}8))\\ -1& (n\equiv 3,5(\mathrm{mod}8))\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$ で定まるものとする（これは導手 $8$ の原始的指標である）。$L(s,\chi )={\sum }_{n=1}^{\infty }\chi (n)n^{-s}$ を全複素平面に解析接続した関数について、$L(-1,\chi )$ の値を求めよ。ただし、ベルヌーイ多項式 $B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$ を用いてよい。

$\chi$ を法 $5$ のルジャンドル記号から定まるディリクレ指標とする。すなわち、整数 $n$ に対して $$\chi (n)=\left(\frac{n}{5}\right)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,4(\mathrm{mod}5))\\ -1& (n\equiv 2,3(\mathrm{mod}5))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}5))\end{array}$$ とする。$$L(1,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n}$$ の値を求めよ。ただし、${\zeta }_5=e^{2\pi i/5}$ とおくとき、ガウス和 $\tau (\chi )={\sum }_{a=1}^4\chi (a){\zeta }_5^a$ の値が $\sqrt{5}$ であることを用いてよい。

$\chi$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して $$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,7(\mathrm{mod}8))\\ -1& (n\equiv 3,5(\mathrm{mod}8))\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$ で定まるものとする（導手 $8$ の原始的指標である）。$$L(2,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^2}$$ の値を求めよ。ただし、導手 $f$ の原始的な偶指標 $\chi$（$\chi (-1)=1$ を満たすもの）と正の偶数 $k$ に対して成り立つ公式 $$L(k,\chi )=(-1{)}^{1+\frac{k}{2}}\frac{\tau (\chi )}{2}{\left(\frac{2\pi }{f}\right)}^k\frac{B_{k,\bar{\chi }}}{k!}$$ を用いてよい。ここで $\tau (\chi )={\sum }_{a=1}^f\chi (a)e^{2\pi ia/f}$ はガウス和、$B_{k,\chi }=f^{k-1}{\sum }_{a=1}^f\chi (a)B_k\left(\frac{a}{f}\right)$ は一般ベルヌーイ数、$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$ である。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ とし、${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ をその整数環とする。$K$ のデデキントゼータ関数を、$\mathrm{Re}s>1$ で
$${\zeta }_K(s)=\sum _{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a}{)}^{-s}$$
（$\mathfrak{a}$ は ${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でないイデアル全体を動く）で定め、複素平面全体に有理型に解析接続したものとする。${\zeta }_K(-1)$ の値を求めよ。

ただし、$K$ の判別式は $D=8$ であり、ベルヌーイ多項式 $B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$、法 $f$ の原始的指標 $\chi$ の一般ベルヌーイ数 $B_{2,\chi }=f{\sum }_{a=1}^f\chi (a)B_2\left(\frac{a}{f}\right)$、および $L(-1,\chi )=-\frac{B_{2,\chi }}{2}$、$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$ を用いてよい。

$\chi$ を法 $4$ の原始的ディリクレ指標
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が偶数})\\ 1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}4))\\ -1& (n\equiv 3(\mathrm{mod}4))\end{array}$$
とし、$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}$（$\mathrm{Re}s>1$）を複素平面全体に解析接続した関数とする。$L(-2,\chi )$ の値を求めよ。

正の実数 $x$ に対して、$x$ 以下の正の奇数で、$1$ より大きい平方数で割り切れないもの（すなわち奇数の平方因子をもたない数）の個数を $Q(x)$ とする。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{Q(x)}{x}$$
の値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ は用いてよい。

$\mathrm{Re}s>0$ で
$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}$$
と定め、$\eta (s)$ を複素平面全体の正則関数に解析接続したものも同じ記号で表す。ベルヌーイ数 $B_k$ を
$$\frac{t}{e^t-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{B_k}{k!}{t}^k$$
で定めるとき、リーマンゼータ関数について正の整数 $k\ge 2$ に対し $\zeta (1-k)=-\frac{B_k}{k}$ が成り立つことは用いてよい。$\eta (-5)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、デデキントのプサイ関数を
$$\psi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right)$$
で定める（積は $n$ を割り切る素数 $p$ 全体にわたり、$\psi (1)=1$ とする）。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^2}\sum _{n\le x}\psi (n)$$
の値を求めよ。ただし $x$ は正の実数で、和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる。

正の整数 $n$ に対し、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和とする。実数 $x\ge 1$ に対して
$$S(x)=\sum _{\begin{array}{c}1\le n\le x\\ n\text{は奇数}\end{array}}\frac{\sigma (n)}{n}$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)=1$ のとき $\chi (n)=\chi (n\mathrm{mod}N)$、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ として整数全体に拡張した関数のことである。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が原始的であるとは、$N$ の真の約数 $M$（$M\mid N$, $M<N$）と法 $M$ のディリクレ指標 ${\chi }^{\prime }$ で、$\gcd (n,N)=1$ を満たすすべての整数 $n$ に対して $\chi (n)={\chi }^{\prime }(n)$ となるものが存在しないことをいう。

法 $63$ のディリクレ指標 $\chi$ のうち、原始的であり、かつ位数がちょうど $3$（すなわち $\gcd (n,63)=1$ なるすべての $n$ で $\chi (n{)}^3=1$ であり、$\chi$ は単位指標でない）であるもの全体の集合を $S$ とする。

$$\sum _{\chi \in S}\chi (2)$$
を求めよ。

正の整数 $n$ を素因数分解して $n={\prod }_p{p}^{k_p}$ と書いたとき、$\Omega (n)={\sum }_p{k}_p$（重複を込めた素因数の個数。$\Omega (1)=0$）とし、リウヴィル関数を $\lambda (n)=(-1{)}^{\Omega (n)}$ で定める。実数 $t$ に対し $\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数を表す。

$N\ge 2$ を満たす任意の整数 $N$ に対して
$$\left|\sum _{n=1}^N\frac{\lambda (n)}{n}-\frac{\lfloor \sqrt{N}\rfloor }{N}\right|\le 1-\frac{2}{N}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、素因数分解の一意性は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。実数 $x\ge 2$ に対して
$$T(x)=\sum _{1\le n\le x}\frac{d(n{)}^2}{n}$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{T(x)}{(\log x{)}^4}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ とおいて整数全体に拡張した関数のこととする。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が、$N$ の約数 $d$ で $d<N$ を満たすものと法 $d$ のディリクレ指標 $\psi$ を用いて「$\gcd (n,N)=1$ のとき $\chi (n)=\psi (n)$」と表せるとき、$\chi$ は誘導された指標であるという。誘導された指標でないものを原始的であるという。また、$\chi (-1)=-1$ を満たす指標を奇指標という。

$N=1820$ とする。法 $1820$ の原始的な奇指標の個数を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。級数
$$S=\sum _{\begin{array}{c}n=1\\ n\text{は奇数}\end{array}}^{\infty }\frac{d(n{)}^2}{n^2}$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラー関数とする。正の実数 $x$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める（和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる）。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。必要ならば $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

法 $12$ のディリクレ指標 $\chi$ を
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}12))\\ -1& (n\equiv \pm 5(\mathrm{mod}12))\\ 0& (\gcd (n,12)>1)\end{array}$$
で定め、$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}$ とする。$L(1,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n}$ の値を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ とし、${\zeta }_K(s)$ を $K$ のデデキントゼータ関数（$\mathrm{Re}s>1$ で $\sum _{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a}{)}^{-s}$、和は整数環の $0$ でないイデアル $\mathfrak{a}$ 全体を動く。複素平面全体に有理型に解析接続したもの）とする。${\zeta }_K(-1)$ の値を求めよ。

法 $105$ のディリクレ指標 $\chi$（群準同型 $(\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,105)>1$ のとき $\chi (n)=0$ として整数全体に拡張したもの）のうち、原始的であり、かつ偶指標（$\chi (-1)=1$ をみたす）であるものの個数を求めよ。ここで法 $105$ の指標が原始的であるとは、$105$ の真の約数 $d$ を法とするどの指標からも誘導されないことをいう。

正の整数 $n$ に対して、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和とする。正の実数 $x$ に対して
$$S(x)=\sum _{\begin{array}{c}1\le n\le x\\ \gcd (n,6)=1\end{array}}\sigma (n)$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x^2}$$
の値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ は用いてよい。

正の整数 $m$ に対して、$d(m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{d(n^2)}{n^2}$$
は収束する。その値を求めよ。ただし $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$ について $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$, $\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ は用いてよい。

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ と定めて整数全体に延長した関数のこととする。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が原始的であるとは、$N$ の真の約数 $M$（$1\le M<N$, $M\mid N$）と法 $M$ のディリクレ指標 $\psi$ で、$\gcd (n,N)=1$ を満たすすべての整数 $n$ に対して $\chi (n)=\psi (n)$ となるものが存在しないことをいう（法 $1$ の指標は恒等的に $1$ である関数とする）。

法 $1540$ の原始的ディリクレ指標 $\chi$ のうち、$\chi (-1)=1$ を満たすもの（偶指標）の個数を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。実数 $x\ge 2$ に対して
$$A(x)=\sum _{1\le n\le x}\frac{2^{\omega (n)}}{n}$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{A(x)}{(\log x{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$、および $x$ 以下の正の整数のうち平方因子をもたないもの（$1$ を含む）の個数 $Q(x)$ が $Q(x)=\frac{6}{{\pi }^2}x+O(\sqrt{x})$ を満たすことは用いてよい。

$\chi$ を法 $7$ のルジャンドル記号から定まるディリクレ指標とする。すなわち、整数 $n$ に対して
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,2,4(\mathrm{mod}7))\\ -1& (n\equiv 3,5,6(\mathrm{mod}7))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}7))\end{array}$$
とする。$\mathrm{Re}s>1$ で $L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}$ と定めた関数は複素平面全体に正則に解析接続される。この解析接続による値 $L(-2,\chi )$ を求めよ。

$\mu$ をメビウス関数（$\mu (1)=1$、$n$ が相異なる $r$ 個の素数の積なら $\mu (n)=(-1{)}^r$、$n$ がある素数の 2 乗で割り切れるなら $\mu (n)=0$）、$\phi$ をオイラー関数（$1\le m\le n$ かつ $\gcd (m,n)=1$ を満たす整数 $m$ の個数）とする。$\log$ は自然対数とする。

任意の実数 $x\ge 2$ に対して
$$\left|\sum _{1\le n\le x}\frac{\phi (n)}{n}-\frac{6}{{\pi }^2}x\right|\le 6\log x$$
が成り立つことを証明せよ。ただし ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ と、絶対収束する級数の積の展開・並べ替えは用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。また $\chi$ を法 $4$ の非自明なディリクレ指標とする。すなわち
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}4))\\ -1& (n\equiv 3(\mathrm{mod}4))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}2))\end{array}$$
である。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)d(n{)}^2}{n^3}$$
は絶対収束する。$S$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$\epsilon (n)$ を次で定める。
$$\epsilon (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,9(\mathrm{mod}10))\\ -1& (n\equiv 3,7(\mathrm{mod}10))\\ 0& (\gcd (n,10)>1)\end{array}$$
このとき無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\epsilon (n)}{n^2}$$
は絶対収束する。$S$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラーの関数とする。実数 $x\ge 1$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ は用いてよい。

$N=4095=3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 13$ とする。法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)=1$ のとき $\chi (n)=\chi (n\mathrm{mod}N)$、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ として整数全体に拡張した関数のことである。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が原始的であるとは、$N$ の正の真の約数 $d$ であって、「$n\equiv 1(\mathrm{mod}d)$ かつ $\gcd (n,N)=1$ ならば $\chi (n)=1$」をみたすものが存在しないことをいう。また $\chi (-1)=-1$ のとき $\chi$ は奇であるという。

法 $N$ の原始的かつ奇なディリクレ指標 $\chi$ であって、$\chi (2)=1$ をみたすものの個数を求めよ。

整数 $n$ に対して、$\chi (n)$ を法 $5$ のルジャンドル記号 $\left(\frac{n}{5}\right)$ とする。すなわち
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,4(\mathrm{mod}5))\\ -1& (n\equiv 2,3(\mathrm{mod}5))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}5))\end{array}$$
である。正の整数 $n$ に対して
$$a(n)=\sum _{d\mid n}\chi (d)$$
と定める（$d$ は $n$ の正の約数全体を動く）。このとき無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a(n{)}^2}{n^2}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。

ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ と、$t\notin \mathbb{Z}$ である実数 $t$ に対する等式 $\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(n+t{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2(\pi t)}$ は用いてよい。

$\chi$ を法 $3$ の原始的ディリクレ指標とする。すなわち、整数 $n$ に対して
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}3))\\ -1& (n\equiv 2(\mathrm{mod}3))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}3))\end{array}$$
と定める。$\mathrm{Re}s>1$ で
$$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}$$
と定め、これを複素平面全体の正則関数に解析接続したものも同じ記号 $L(s,\chi )$ で表す。このとき、値 $L(-4,\chi )$ を求めよ。

$\chi$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,3(\mathrm{mod}8))\\ -1& (n\equiv 5,7(\mathrm{mod}8))\\ 0& (n\text{が偶数})\end{array}$$
で定まるものとする（これは導手 $8$ の原始的な指標である）。ディリクレの $L$ 関数
$$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}(\mathrm{Re}s>1)$$
は複素平面全体に正則関数として解析接続される。その $s=-2$ における値 $L(-2,\chi )$ を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ とし、${\zeta }_K(s)=\sum _{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a}{)}^{-s}$（$\mathfrak{a}$ は ${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でないイデアル全体を動く）を $K$ のデデキントゼータ関数とする。解析接続された ${\zeta }_K(s)$ の $s=-3$ における値 ${\zeta }_K(-3)$ を求めよ。

$\chi$ を法 $3$ の原始的ディリクレ指標
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}3))\\ -1& (n\equiv 2(\mathrm{mod}3))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}3))\end{array}$$
とし、正の整数 $n$ に対して $\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)2^{\omega (n)}}{n^3}$$
の値を求めよ。ただし $\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とし、$\lambda (n)$ をリウヴィル関数とする。すなわち、$n$ の素因数分解を $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ とするとき $\lambda (n)=(-1{)}^{e_1+\cdots +e_r}$ であり、$\lambda (1)=1$ とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。正の奇数 $n$ 全体にわたる級数
$$S=\sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ n\text{ は奇数}\end{array}}\frac{\lambda (n)d(n^2)}{n^2}$$
の値を求めよ。

$N=520$ とする。法 $N$ のディリクレ指標とは群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ のことで、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ と定めて整数全体の関数とみなす。法 $N$ のディリクレ指標全体は積について群をなし、その中での $\chi$ の位数を単に $\chi$ の位数という。また、$\chi$ が $N$ の真の約数 $M$ を法とする指標から誘導されないとき、$\chi$ は原始的であるという。

法 $520$ のディリクレ指標 $\chi$ で、次の $3$ つの条件をすべて満たすものの個数を求めよ。

$(1)$ $\chi$ は原始的である。

$(2)$ $\chi$ の位数はちょうど $4$ である。

$(3)$ $\chi (-1)=1$ である。

正の整数 $n$ に対し、${\sigma }_2(n)=\sum _{d\mid n}{d}^2$（$d$ は $n$ の正の約数全体を動く）とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$、$\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$、$\zeta (8)=\frac{{\pi }^8}{9450}$ を用いてよい。級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sigma }_2(n{)}^2}{n^6}$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$f(n)=\#\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}_{>0}^2:\mathrm{lcm}(a,b)=n\}$$
とおく（$\mathrm{lcm}(a,b)$ は $a,b$ の最小公倍数）。また、複素数 $s$ に対して $\sigma =\mathrm{Re}s$ と書き、$\sigma >1$ のとき $\zeta (s)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$ とする。

$\mathrm{Re}s>1$ を満たす任意の複素数 $s$ に対して、ディリクレ級数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}$ は絶対収束し、$\zeta (2s)\ne 0$ であって
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s{)}^3}{\zeta (2s)}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、素因数分解の一意性、$\sigma >1$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-\sigma }$ が収束すること、絶対収束する級数の項の並べ替えと、絶対収束する有限個の級数の積の展開（コーシー積）は用いてよい。$\zeta$ のオイラー積表示は用いる場合には証明すること。

$q,k$ を正の整数とし、$G=(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }$ とする。法 $q$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\psi :G\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を用いて、$\gcd (n,q)=1$ のとき $\chi (n)=\psi (n\mathrm{mod}q)$、$\gcd (n,q)>1$ のとき $\chi (n)=0$ と定めた関数 $\chi :\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ のことをいう。法 $q$ の単位指標（$\psi$ が自明な準同型であるもの）を ${\chi }_0$ と書き、指標の積は値ごとの積とする。

${\chi }^k={\chi }_0$ を満たす法 $q$ のディリクレ指標 $\chi$ 全体の集合を $X_k$ とし、
$$N_k=\#\{x\in G:x^k=1\}$$
とおく。このとき、$\gcd (a,q)=1$ を満たす任意の整数 $a$ に対して
$$\sum _{\chi \in X_k}\chi (a)=\{\begin{array}{ll}{N}_k& (\text{ある整数 }b\text{ で }a\equiv b^k(\mathrm{mod}q)\text{ となるとき}),\\ 0& (\text{そうでないとき})\end{array}$$
が成り立つことを証明せよ。特に $\#X_k=N_k$ である。

ただし、有限アーベル群 $H$ について次の 2 つの事実は用いてよい。
(i) 群準同型 $H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ 全体のなす群 $\hat{H}$ の位数は $|H|$ に等しい。
(ii) $h\in H$, $h\ne 1$ ならば、$\phi (h)\ne 1$ となる $\phi \in \hat{H}$ が存在する。

関数 $\chi :\mathbb{Z}\to \{0,1,-1\}$ を
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8)),\\ -1& (n\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8)),\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定める（これは法 $8$ の実ディリクレ指標である）。部分和を $S_N={\sum }_{n=1}^N\frac{\chi (n)}{n}$（$N$ は正の整数）とおく。

$N\to \infty$ のとき $S_N$ は収束し、
$$L(1,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n}=\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N=\frac{\log (1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、微分積分学の基本的な事実（定積分の性質、置換積分、広義積分）は用いてよい。