解析的整数論の問題

乗法的であることの確認. $m,n$ が互いに素なら、$mn$ の相異なる素因数は $m$ の素因数と $n$ の素因数を合わせたもので、重なりはないから $\omega (mn)=\omega (m)+\omega (n)$。よって $f(n)=2^{\omega (n)}$ は $f(mn)=f(m)f(n)$ を満たす乗法的関数である。また $0\le f(n)\le d(n)$ で、$\sum d(n)n^{-4}=\zeta (4{)}^2$ は収束するので、級数は絶対収束し、オイラー積に分解してよい。

素数ごとの因子. 素数 $p$ と $k\ge 1$ について $\omega (p^k)=1$ なので $f(p^k)=2$、また $f(1)=1$。$x=p^{-4}$ とおくと
$$\sum _{k=0}^{\infty }f(p^k)x^k=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{x}^k=1+\frac{2x}{1-x}=\frac{1+x}{1-x}=\frac{1-x^2}{(1-x{)}^2}.$$

ゼータ関数で表す. したがって
$$S=\prod _p\frac{1-p^{-8}}{(1-p^{-4}{)}^2}={\left(\prod _p\frac{1}{1-p^{-4}}\right)}^2/\prod _p\frac{1}{1-p^{-8}}=\frac{\zeta (4{)}^2}{\zeta (8)}.$$
ここで $\zeta (s)={\prod }_p(1-p^{-s}{)}^{-1}$（$s>1$）を使った。

値の計算.
$$\zeta (4{)}^2=\frac{{\pi }^8}{8100}$$ なので
$$S=\frac{{\pi }^8}{8100}\cdot \frac{9450}{{\pi }^8}=\frac{9450}{8100}=\frac{7}{6}.$$

よって $S=\frac{7}{6}$。

$f(n)=2^{\omega (n)}$ は乗法的関数である（互いに素な $m,n$ について $\omega (mn)=\omega (m)+\omega (n)$）。級数は絶対収束するのでオイラー積に展開できる。素数 $p$ について $x=p^{-4}$ とおくと、$p$ の因子は $1+{\sum }_{k\ge 1}2\cdot x^k=1+\frac{2x}{1-x}=\frac{1+x}{1-x}=\frac{1-x^2}{(1-x{)}^2}$。よって
$$S=\prod _p\frac{1-p^{-8}}{(1-p^{-4}{)}^2}=\frac{\zeta (4{)}^2}{\zeta (8)}.$$
$\zeta (4{)}^2=\frac{{\pi }^8}{8100}$ なので
$$S=\frac{{\pi }^8}{8100}\cdot \frac{9450}{{\pi }^8}=\frac{9450}{8100}=\frac{7}{6}.$$
検算: 最初の数項 $1+\frac{2}{16}+\frac{2}{81}+\frac{2}{256}+\frac{2}{625}+\frac{4}{1296}+\cdots \approx 1+0.125+0.0247+0.0078+0.0032+0.0031+\cdots \approx 1.17$ で、$7/6\approx 1.1667$ と整合する（$n=4$ は $\omega =1$ なので $2/256$、$n=6$ は $\omega =2$ なので $4/1296$）。