解析的整数論の問題

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。級数
$$S=\sum _{\begin{array}{c}n=1\\ n\text{は奇数}\end{array}}^{\infty }\frac{d(n{)}^2}{n^2}$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。また $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ とし、$$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (8)=\frac{{\pi }^8}{9450}$$ を用いてよい。無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^{\omega (n)}}{n^4}$$ は収束する。$S$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和とする。正の実数 $x$ に対して
$$S(x)=\sum _{\begin{array}{c}1\le n\le x\\ \gcd (n,6)=1\end{array}}\sigma (n)$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x^2}$$
の値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数（$\omega (1)=0$）、$\lambda (n)$ をリウヴィル関数とする。すなわち $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$（$p_i$ は相異なる素数）と素因数分解するとき $\lambda (n)=(-1{)}^{e_1+\cdots +e_r}$ とし、$\lambda (1)=1$ とする。無限級数 $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda (n)2^{\omega (n)}}{n^2}$$ の値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$, $\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とし、$\lambda (n)$ をリウヴィル関数とする。すなわち、$n$ の素因数分解を $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ とするとき $\lambda (n)=(-1{)}^{e_1+\cdots +e_r}$ であり、$\lambda (1)=1$ とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。正の奇数 $n$ 全体にわたる級数
$$S=\sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ n\text{ は奇数}\end{array}}\frac{\lambda (n)d(n^2)}{n^2}$$
の値を求めよ。