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解析的整数論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学解析的整数論

$q, k$ を正の整数とし、 $G = (Z / q Z)^{\times}$ とする。法 $q$ のディリクレ指標とは、群準同型 $ψ : G \to C^{\times}$ を用いて、 $g cd (n, q) = 1$ のとき $χ (n) = ψ (n mod q)$ 、 $g cd (n, q) > 1$ のとき $χ (n) = 0$ と定めた関数 $χ : Z \to C$ のことをいう。法 $q$ の単位指標（ $ψ$ が自明な準同型であるもの）を $χ_{0}$ と書き、指標の積は値ごとの積とする。

$χ^{k} = χ_{0}$ を満たす法 $q$ のディリクレ指標 $χ$ 全体の集合を $X_{k}$ とし、
$N_{k} = # {x \in G : x^{k} = 1}$
とおく。このとき、 $g cd (a, q) = 1$ を満たす任意の整数 $a$ に対して
$χ \in X_{k} \sum χ (a) = {N_{k} 0 (ある整数 b で a \equiv b^{k} (mod q) となるとき), (そうでないとき)$
が成り立つことを証明せよ。特に $# X_{k} = N_{k}$ である。

ただし、有限アーベル群 $H$ について次の 2 つの事実は用いてよい。
(i) 群準同型 $H \to C^{\times}$ 全体のなす群 $H$ の位数は $∣ H ∣$ に等しい。
(ii) $h \in H$ , $h \neq = 1$ ならば、 $φ (h) \neq = 1$ となる $φ \in H$ が存在する。

この問題で使うもの

ディリクレ指標の定義と値（説明と入口の問題）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（61 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ディリクレ指標を $G = (Z / q Z)^{\times}$ の指標と同一視し、 $χ^{k} = χ_{0}$ を満たす指標が $G^{k} = {g^{k}}$ 上で自明な指標であることに注目する。和の値は、指標の直交関係と同じ「ずらし」の議論で求める。

ヒント 2

$k$ 乗写像 $g \mapsto g^{k}$ は準同型で、核が ${x : x^{k} = 1}$ 、像が $G^{k}$ なので $∣ G^{k} ∣ = ∣ G ∣/ N_{k}$ 。 $G^{k}$ 上で自明な指標は商群 $G / G^{k}$ の指標と 1 対 1 に対応する。

ヒント 3

$# X_{k} = ∣ G / G^{k} ∣ = N_{k}$ を示したら、 $a$ が $k$ 乗剰余なら各項が $1$ になる。そうでないときは、事実 (ii) を $G / G^{k}$ に使って $ψ_{1} (a) \neq = 1$ となる $ψ_{1} \in X_{k}$ をとり、和 $S$ について $S = ψ_{1} (a) S$ を導く。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

ディリクレ指標を $G$ の準同型と同一視し、 $χ^{k} = χ_{0}$ が「 $G^{k}$ 上で自明」と同値であること、 $a \equiv b^{k}$ が $a ˉ \in G^{k}$ と同値であることを述べている（2 点）
$k$ 乗写像が準同型であることから、準同型定理により $∣ G^{k} ∣ = ∣ G ∣/ N_{k}$ を導いている（2 点）
$G^{k}$ 上で自明な指標と $G / G^{k}$ の指標の間の全単射を（well-defined 性を含めて）構成し、事実 (i) から $# X_{k} = N_{k}$ を示している（2 点）
$a$ が $k$ 乗剰余のとき、各 $χ \in X_{k}$ で $χ (a) = 1$ となることから和が $N_{k}$ になることを示している（1 点）
$a$ が $k$ 乗剰余でないとき、事実 (ii) を商群に使って $χ_{1} (a) \neq = 1$ となる $χ_{1} \in X_{k}$ をとり、 $X_{k}$ が群であることから $S = χ_{1} (a) S$ を導いて $S = 0$ を示している（3 点）

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模範解答を読む

準備: 指標と準同型の対応。 定義により、法 $q$ のディリクレ指標 $χ$ と準同型 $ψ \in G$ は 1 対 1 に対応する（ $χ$ は $ψ$ から定まり、逆に $ψ (n mod q) = χ (n)$ で $ψ$ が復元される）。値ごとの積はこの対応で準同型の値ごとの積に対応し、 $χ_{0}$ は自明な準同型 $1$ に対応する。また $g cd (n, q) > 1$ では両辺とも $0$ なので、 $χ^{k} = χ_{0}$ は $ψ^{k} = 1$ （すべての $g \in G$ で $ψ (g)^{k} = 1$ ）と同値である。したがって
$X_{k} ⟷ G_{k} := {ψ \in G : ψ^{k} = 1}$
であり、 $a$ の $mod q$ での類を $a ˉ \in G$ とすると、示すべき式の左辺は $S (a ˉ) := \sum_{ψ \in G_{k}} ψ (a ˉ)$ に等しい。また「ある整数 $b$ で $a \equiv b^{k} (mod q)$ 」は、 $b$ も $q$ と互いに素になる（ $b$ と $q$ が共通の素因数 $p$ をもてば $p ∣ b^{k} - a + a$ から $p ∣ a$ となり $g cd (a, q) = 1$ に反する）ので、 $a ˉ \in G^{k} := {g^{k} : g \in G}$ と同値である。

第 1 段: $∣ G^{k} ∣$ と $N_{k}$ の関係。 $G$ はアーベル群なので、 $κ : G \to G$ , $κ (g) = g^{k}$ は準同型である（ $(g h)^{k} = g^{k} h^{k}$ ）。その像が $G^{k}$ 、核が $G [k] := {x \in G : x^{k} = 1}$ である。よって $G^{k}$ は $G$ の部分群であり、準同型定理より $G / G [k] ≅ G^{k}$ 、すなわち
$∣ G^{k} ∣ = \frac{∣ G ∣}{∣ G [ k ] ∣} = \frac{∣ G ∣}{N _{k}} .$

第 2 段: $G_{k}$ と $G / G^{k}$ の指標の対応。 $ψ \in G$ について、 $ψ^{k} = 1 ⟺$ すべての $g$ で $ψ (g^{k}) = ψ (g)^{k} = 1 ⟺ ψ$ は $G^{k}$ 上で $1$ 、である。 $H = G / G^{k}$ （有限アーベル群）、 $π : G \to H$ を自然な射影とする。 $ψ \in G_{k}$ に対して $ψ ˉ (g G^{k}) = ψ (g)$ と定めると、 $g G^{k} = g^{'} G^{k}$ なら $g^{'} g^{- 1} \in G^{k}$ で $ψ (g^{'}) = ψ (g) ψ (g^{'} g^{- 1}) = ψ (g)$ なので well-defined であり、 $ψ ˉ \in H$ である。逆に $φ \in H$ に対して $φ \circ π$ は $G^{k}$ 上で $1$ なので $G_{k}$ に属する。この 2 つの対応は互いに逆であるから $G_{k} \to H$ , $ψ \mapsto ψ ˉ$ は全単射である。事実 (i) と第 1 段より
$# G_{k} = ∣ H ∣ = ∣ H ∣ = \frac{∣ G ∣}{∣ G ^{k} ∣} = N_{k} .$
また、 $ψ, ψ^{'} \in G_{k}$ なら $(ψ ψ^{'})^{k} = ψ^{k} ψ^{' k} = 1$ なので、 $G_{k}$ は値ごとの積について $G$ の部分群である。

第 3 段: $a ˉ \in G^{k}$ の場合。 $a ˉ = b^{k}$ （ $b \in G$ ）と書けるので、任意の $ψ \in G_{k}$ で $ψ (a ˉ) = ψ (b)^{k} = 1$ 。よって $S (a ˉ) = # G_{k} = N_{k}$ 。

第 4 段: $a ˉ \in / G^{k}$ の場合。 このとき $π (a ˉ) \neq = 1$ （ $H$ の単位元）なので、事実 (ii) より $φ (π (a ˉ)) \neq = 1$ となる $φ \in H$ がある。 $ψ_{1} = φ \circ π$ とおくと、第 2 段より $ψ_{1} \in G_{k}$ で $ψ_{1} (a ˉ) \neq = 1$ 。 $G_{k}$ は群なので、 $ψ \mapsto ψ_{1} ψ$ は $G_{k}$ からそれ自身への全単射（逆写像は $ψ \mapsto ψ_{1}^{- 1} ψ$ ）である。よって和の順序を入れ替えて
$S (a ˉ) = ψ \in G_{k} \sum (ψ_{1} ψ) (a ˉ) = ψ_{1} (a ˉ) ψ \in G_{k} \sum ψ (a ˉ) = ψ_{1} (a ˉ) S (a ˉ) .$
したがって $(1 - ψ_{1} (a ˉ)) S (a ˉ) = 0$ で、 $ψ_{1} (a ˉ) \neq = 1$ だから $S (a ˉ) = 0$ 。

結論。 第 3 段・第 4 段より、 $g cd (a, q) = 1$ のとき $\sum_{χ \in X_{k}} χ (a)$ は、 $a$ が法 $q$ で $k$ 乗数と合同なら $N_{k}$ 、そうでなければ $0$ である。また第 2 段より $# X_{k} = # G_{k} = N_{k}$ （ $a = 1 = 1^{k}$ の場合とも一致する）。 $■$

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