解析的整数論の問題

$\mathrm{Re}s>0$ で
$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}$$
と定め、$\eta (s)$ を複素平面全体の正則関数に解析接続したものも同じ記号で表す。ベルヌーイ数 $B_k$ を
$$\frac{t}{e^t-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{B_k}{k!}{t}^k$$
で定めるとき、リーマンゼータ関数について正の整数 $k\ge 2$ に対し $\zeta (1-k)=-\frac{B_k}{k}$ が成り立つことは用いてよい。$\eta (-5)$ の値を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ とし、${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ をその整数環とする。$K$ のデデキントゼータ関数を、$\mathrm{Re}s>1$ で
$${\zeta }_K(s)=\sum _{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a}{)}^{-s}$$
（$\mathfrak{a}$ は ${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でないイデアル全体を動く）で定め、複素平面全体に有理型に解析接続したものとする。${\zeta }_K(-1)$ の値を求めよ。

ただし、$K$ の判別式は $D=8$ であり、ベルヌーイ多項式 $B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$、法 $f$ の原始的指標 $\chi$ の一般ベルヌーイ数 $B_{2,\chi }=f{\sum }_{a=1}^f\chi (a)B_2\left(\frac{a}{f}\right)$、および $L(-1,\chi )=-\frac{B_{2,\chi }}{2}$、$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数（$\omega (1)=0$）、$\lambda (n)$ をリウヴィル関数とする。すなわち $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$（$p_i$ は相異なる素数）と素因数分解するとき $\lambda (n)=(-1{)}^{e_1+\cdots +e_r}$ とし、$\lambda (1)=1$ とする。無限級数 $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda (n)2^{\omega (n)}}{n^2}$$ の値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$, $\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。また $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ とし、$$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (8)=\frac{{\pi }^8}{9450}$$ を用いてよい。無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^{\omega (n)}}{n^4}$$ は収束する。$S$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、${\sigma }_3(n)={\sum }_{d\mid n}{d}^3$ を $n$ の正の約数の $3$ 乗の総和とする。正の実数 $x$ に対して $$S(x)=\sum _{1\le n\le x}{\sigma }_3(n)$$ とおく。極限 $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x^4}$$ を求めよ。ただし $\zeta (4)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。