解析的整数論の問題

$\eta$ と $\zeta$ の関係 $\mathrm{Re}s>1$ では、偶数番目の項を引く操作により
$$\eta (s)=\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^s}-2\sum _{n\ge 1}\frac{1}{(2n{)}^s}=\zeta (s)-2^{1-s}\zeta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s).$$
両辺は $s=1$ を除いて有理型（左辺は整関数、右辺は $s=1$ の極が $1-2^{1-s}$ の零点で打ち消される）なので、一致の定理によりこの等式は複素平面全体で成り立つ。

よって
$$\eta (-5)=(1-2^6)\zeta (-5)=-63\zeta (-5).$$

$B_6$ の計算 $\frac{t}{e^t-1}\cdot (e^t-1)=t$ の両辺の $t^{n+1}$ の係数を比べると、$n\ge 1$ に対し
$$\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{j}\right)B_j=0$$
が成り立つ。これから順に
- $n=1$: $1+2B_1=0$ より $B_1=-\frac{1}{2}$
- $n=2$: $1+3B_1+3B_2=0$ より $B_2=\frac{1}{6}$
- $n=3$: $1+4B_1+6B_2+4B_3=0$ より $1-2+1+4B_3=0$, $B_3=0$
- $n=4$: $1+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=0$ より $1-\frac{5}{2}+\frac{5}{3}+5B_4=0$, $B_4=-\frac{1}{30}$
- $n=5$: $1+6B_1+15B_2+20B_3+15B_4+6B_5=0$ より $1-3+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}+6B_5=0$, $B_5=0$
- $n=6$: $1+7B_1+21B_2+35B_3+35B_4+21B_5+7B_6=0$ より $1-\frac{7}{2}+\frac{7}{2}-\frac{7}{6}+7B_6=0$, $B_6=\frac{1}{42}$

$\zeta (-5)$ $k=6$ として
$$\zeta (-5)=-\frac{B_6}{6}=-\frac{1}{252}.$$

結論
$$\eta (-5)=-63\cdot \left(-\frac{1}{252}\right)=\frac{63}{252}=\frac{1}{4}.$$

$\mathrm{Re}s>1$ で $\eta (s)=\zeta (s)-2{\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{(2n{)}^s}=(1-2^{1-s})\zeta (s)$ が成り立ち、解析接続により全平面で成り立つ（$s=1$ では $\zeta$ の極と $1-2^{1-s}$ の零点が打ち消し合う）。

$s=-5$ とすると $1-2^{1-s}=1-2^6=-63$。$k=6$ として $\zeta (-5)=\zeta (1-6)=-\frac{B_6}{6}$。ベルヌーイ数は $B_6=\frac{1}{42}$ であるから $\zeta (-5)=-\frac{1}{252}$。

よって
$$\eta (-5)=(-63)\cdot \left(-\frac{1}{252}\right)=\frac{63}{252}=\frac{1}{4}.$$

検算: $B_6$ は $\frac{t}{e^t-1}$ の展開から、$B_0=1,B_1=-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42}$ であり、既知の $\zeta (-5)=-\frac{1}{252}$ と一致する。また $\eta (-1)=(1-2^2)\zeta (-1)=(-3)(-\frac{1}{12})=\frac{1}{4}$、$\eta (-3)=(1-2^4)\zeta (-3)=(-15)\cdot \frac{1}{120}=-\frac{1}{8}$ のように同じ手順で既知値が得られることも確認できる。