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解析的整数論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学解析的整数論

$K = Q (2)$ とし、 $O_{K} = Z [2]$ をその整数環とする。 $K$ のデデキントゼータ関数を、 $Re s > 1$ で
$ζ_{K} (s) = a \sum N (a)^{- s}$
（ $a$ は $O_{K}$ の $0$ でないイデアル全体を動く）で定め、複素平面全体に有理型に解析接続したものとする。 $ζ_{K} (- 1)$ の値を求めよ。

ただし、 $K$ の判別式は $D = 8$ であり、ベルヌーイ多項式 $B_{2} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{6}$ 、法 $f$ の原始的指標 $χ$ の一般ベルヌーイ数 $B_{2, χ} = f \sum_{a = 1}^{f} χ (a) B_{2} (\frac{a}{f})$ 、および $L (- 1, χ) = - \frac{B _{2, χ}}{2}$ 、 $ζ (- 1) = - \frac{1}{12}$ を用いてよい。

この問題で使うもの

2 次体のデデキントゼータ関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（123 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「2 次体のデデキントゼータ関数」を使う。素数の分解と $χ_{8} (p)$ の対応から、 $ζ_{K} (s)$ を $ζ (s)$ とディリクレ $L$ 関数の積に分ける。

ヒント 2

どの素数 $p$ でもオイラー因子が $(1 - p^{- s})^{- 1} (1 - χ_{8} (p) p^{- s})^{- 1}$ になるので $ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ_{8})$ 。 $L (- 1, χ_{8}) = - \frac{B _{2, χ_{8}}}{2}$ を一般ベルヌーイ数で計算する。

ヒント 3

$χ_{8}$ は $a = 1, 3, 5, 7$ で $1, - 1, - 1, 1$ 。 $\sum χ_{8} (a) a^{2} = 16$ , $\sum χ_{8} (a) a = 0$ から $B_{2, χ_{8}} = 8 \cdot \frac{16}{64} = 2$ 、よって $L (- 1, χ_{8}) = - 1$ 。あとは $ζ (- 1)$ を掛ける。

答えと解説

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\frac{1}{12}

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解説を読む

1. $ζ_{K} (s)$ を $ζ (s)$ と $L (s, χ_{8})$ に分ける。

$K = Q (2)$ の判別式は $D = 8$ で、対応する原始的 2 次指標 $χ_{8} (n) = (\frac{8}{n})$ は導手 $8$ の指標で、
$χ_{8} (n) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 1 0 (n \equiv \pm 1 (mod 8)) (n \equiv \pm 3 (mod 8)) (n が偶数)$
である（補充法則 $(\frac{2}{p}) = (- 1)^{\frac{p ^{2} - 1}{8}}$ と同じ値）。

素数 $p$ の $O_{K}$ での分解は $χ_{8} (p)$ で決まる。
- $χ_{8} (p) = 1$ （分解）: $p = p p^{'}$ , $N p = N p^{'} = p$ で、オイラー因子は $(1 - p^{- s})^{- 2}$
- $χ_{8} (p) = - 1$ （惰性）: $p$ は素イデアルのままで $N (p) = p^{2}$ 、オイラー因子は $(1 - p^{- 2 s})^{- 1} = (1 - p^{- s})^{- 1} (1 + p^{- s})^{- 1}$
- $χ_{8} (p) = 0$ （ $p = 2$ 、分岐）: $2 = (2)^{2}$ , $N (2) = 2$ で、オイラー因子は $(1 - 2^{- s})^{- 1}$

どの場合も $p$ のオイラー因子は $(1 - p^{- s})^{- 1} (1 - χ_{8} (p) p^{- s})^{- 1}$ に等しい。したがって
$ζ_{K} (s) = p \prod \frac{1}{1 - p ^{- s}} p \prod \frac{1}{1 - χ _{8} ( p ) p ^{- s}} = ζ (s) L (s, χ_{8})$
であり、解析接続しても等式は保たれるので $ζ_{K} (- 1) = ζ (- 1) L (- 1, χ_{8})$ である。

2. $L (- 1, χ_{8})$ を求める。

$f = 8$ で $χ_{8} (1) = 1, χ_{8} (3) = - 1, χ_{8} (5) = - 1, χ_{8} (7) = 1$ （偶数の $a$ では $0$ ）。 $B_{2} (\frac{a}{8}) = \frac{a ^{2}}{64} - \frac{a}{8} + \frac{1}{6}$ で、 $\sum_{a} χ_{8} (a) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$ なので定数項 $\frac{1}{6}$ は消える。
$a \sum χ_{8} (a) a^{2} = 1 - 9 - 25 + 49 = 16, a \sum χ_{8} (a) a = 1 - 3 - 5 + 7 = 0$
より
$a = 1 \sum 8 χ_{8} (a) B_{2} (\frac{a}{8}) = \frac{16}{64} - \frac{0}{8} = \frac{1}{4}, B_{2, χ_{8}} = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2.$
よって $L (- 1, χ_{8}) = - \frac{B _{2, χ_{8}}}{2} = - 1$ 。

3. 掛け合わせる。
$ζ_{K} (- 1) = ζ (- 1) L (- 1, χ_{8}) = (- \frac{1}{12}) \cdot (- 1) = \frac{1}{12} .$

別解

$K$ は実二次体で判別式 $D = 8$ 。 $ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ)$ 、 $χ$ は導手 $f = 8$ の原始的指標（クロネッカー記号 $(8/ \cdot)$ ）。 $χ (1) = 1, χ (3) = - 1, χ (5) = - 1, χ (7) = 1$ （偶指標）。

$B_{2, χ} = 8 \sum_{a} χ (a) (\frac{a ^{2}}{64} - \frac{a}{8} + \frac{1}{6})$ 。 $\sum χ (a) = 0$ より定数項は消える。 $\sum χ (a) a = 1 - 3 - 5 + 7 = 0$ 。 $\sum χ (a) a^{2} = 1 - 9 - 25 + 49 = 16$ 。よって $\sum χ (a) B_{2} (a /8) = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$ 、 $B_{2, χ} = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$ 。

$L (- 1, χ) = - \frac{2}{2} = - 1$ 。したがって $ζ_{K} (- 1) = ζ (- 1) L (- 1, χ) = (- \frac{1}{12}) (- 1) = \frac{1}{12}$ 。

検算: $Q (2)$ の $ζ_{K} (- 1) = \frac{1}{12}$ は既知の値（ $ζ_{K} (- 1) = \frac{1}{60} \sum_{b^{2} < D, b \equiv D (2)} σ_{1} (\frac{D - b ^{2}}{4})$ で $D = 8$ : $b = 0, \pm 2$ より $σ_{1} (2) + 2 σ_{1} (1) = 3 + 2 = 5$ 、 $5/60 = 1/12$ ）と一致する。

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