2 次体のデデキントゼータ関数

素数の分解と $χ_{D} (p)$ の対応から $ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ_{D})$ （ $D$ は $K$ の判別式）を導き、 $ζ_{K} (- 1) = ζ (- 1) L (- 1, χ_{D})$ のように負の整数での値を求められる

前提

ディリクレ級数とオイラー積（大学院数学解析的整数論）
一般ベルヌーイ数と L 関数の負の整数での値（大学院数学解析的整数論）

この技能までの道筋（122 技能）

算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
互いに素な法への分解（数学A 整数の性質）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
包除原理（数学A 場合の数と確率）
オイラー関数の計算（大学数学整数論）
約数の個数と総和（数学A 整数の性質）
乗法的関数と約数にわたる和（大学数学整数論）
メビウス関数と反転公式（大学数学整数論）
ディリクレ級数とオイラー積（大学院数学解析的整数論）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
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三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
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増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
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置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
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オイラー・マクローリンの和公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
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べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
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複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
2 数を解とする 2 次方程式と複素数の範囲の因数分解（数学II 複素数と方程式）
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分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
$π cot π z$ の部分分数展開と級数の和（大学院数学複素解析・リーマン面）
リーマンゼータ関数の特殊値（大学院数学解析的整数論）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
群の表現と指標（大学院数学表現論）
ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）
方程式 $z^{n} = a$ の解（数学C 複素数平面）
1 次元表現とアーベル化（大学院数学表現論）
ディリクレ指標の定義と値（大学院数学解析的整数論）
フェルマーの小定理とオイラーの定理（大学数学整数論）
n 進法（数学A 整数の性質）
繰り返し二乗法によるべき剰余（大学数学暗号理論）
平方剰余とオイラーの規準（大学数学整数論）
平方剰余の相互法則（大学数学整数論）
原始的指標と導手（大学院数学解析的整数論）
一般ベルヌーイ数と L 関数の負の整数での値（大学院数学解析的整数論）

説明

2 次体 $K = Q (d)$ （ $d \neq = 0, 1$ は平方因子をもたない整数）のデデキントゼータ関数 $ζ_{K} (s)$ を、素数 $p$ が $K$ でどう分解するかを判別式 $D$ の 2 次指標 $χ_{D}$ で読み取ることで、リーマンゼータ関数とディリクレ L 関数の積 $ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ_{D})$ に分解する技能です。この分解を使うと、 $ζ_{K}$ の負の整数での値が、前提の技能で計算できる $ζ (1 - k)$ と一般ベルヌーイ数 $B_{k, χ_{D}}$ から求まります。実 2 次体の $ζ_{K} (- 1)$ のような値や、虚 2 次体では $ζ_{K} (- 1) = 0$ となることがすぐにわかります。

なぜそうしてよいのか

登場するもの（代数的整数論から借りる事実）: この説明では、次の事実を断り書きとして使います。 $K$ の整数環を $O_{K}$ 、判別式を $D$ とします（ $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $D = d$ 、 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $D = 4 d$ ）。 $O_{K}$ の 0 でないイデアル $a$ のノルムを $N a = # (O_{K} / a)$ （有限）とし、 $ζ_{K} (s) = \sum_{a} N a^{- s}$ （ $Re s > 1$ で絶対収束）と定めます。(i) $O_{K}$ の 0 でないイデアルは素イデアルの積にただ一通りに分解する（イデアルの一意分解）。(ii) ノルムは乗法的 $N (ab) = N a N b$ 。(iii) 各素イデアル $p$ はちょうど 1 つの素数 $p$ を含み、 $p O_{K}$ は次の 3 通りのどれかに分かれる: $p p^{'}$ （ $p \neq = p^{'}$ , ノルムはともに $p$ 、分解）、 $p O_{K}$ 自身が素（ノルム $p^{2}$ 、惰性）、 $p^{2}$ （ノルム $p$ 、分岐）。(i)(ii) があるので、整数の素因数分解からオイラー積を作ったのと同じ理由で $ζ_{K} (s) = \prod_{p} (1 - N p^{- s})^{- 1}$ となり、これを素数 $p$ ごとにまとめます。\n\nどの型になるかの判定（分解法則）: 奇素数 $p$ では $O_{K} / p O_{K}$ は $F_{p} [x] / (x^{2} - D)$ と同じ形の環になり、 $p$ を含む素イデアルは $x^{2} \equiv D (mod p)$ の解と対応します（この対応も借りる事実です）。解が 2 個（ $D$ が $p$ の平方剰余で $p ∤ D$ ）なら分解、解なし（平方非剰余）なら惰性、重解 $x \equiv 0$ のみ（ $p ∣ D$ ）なら分岐です。つまり奇素数ではルジャンドル記号 $(\frac{D}{p}) = 1, - 1, 0$ が分解・惰性・分岐に対応します。 $p = 2$ では、 $D$ が偶数なら分岐、 $D$ が奇数なら $D \equiv 1 (mod 4)$ なので $O_{K} = Z [\frac{1 + D}{2}]$ の生成元の最小多項式 $x^{2} - x - \frac{D - 1}{4}$ を法 2 で見て、 $D \equiv 1 (mod 8)$ なら $x (x - 1)$ と分かれて分解、 $D \equiv 5 (mod 8)$ なら $x^{2} + x + 1$ は既約で惰性です。そこで $χ_{D} (p)$ を、奇素数 $p$ では $(\frac{D}{p})$ 、 $p = 2$ では $D \equiv 1 (mod 8)$ なら $1$ 、 $D \equiv 5 (mod 8)$ なら $- 1$ 、 $D$ が偶数なら $0$ と定めると、 $χ_{D} (p) = 1, - 1, 0$ がそれぞれ分解・惰性・分岐に対応します。平方剰余の相互法則（第 1・第 2 補充法則を含む）により、この値は $p$ を $∣ D ∣$ で割った余りだけで決まり、完全乗法的に延ばした $χ_{D}$ （クロネッカー記号）は $∣ D ∣$ を法とする原始的な 2 次指標になります。\n\nオイラー因子の比較: 分解なら因子は $(1 - p^{- s})^{- 2}$ 、惰性なら $(1 - p^{- 2 s})^{- 1} = (1 - p^{- s})^{- 1} (1 + p^{- s})^{- 1}$ 、分岐なら $(1 - p^{- s})^{- 1}$ 。どの場合も $(1 - p^{- s})^{- 1} (1 - χ_{D} (p) p^{- s})^{- 1}$ とまとめて書けます。 $χ_{D}$ は完全乗法的なので、ディリクレ級数とオイラー積の技能により $\prod_{p} (1 - χ_{D} (p) p^{- s})^{- 1} = L (s, χ_{D})$ 。よって $Re s > 1$ で\n $ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ_{D}) .$ \n両辺は複素平面全体に有理型に解析接続され、 $Re s > 1$ で一致する有理型関数は全域で一致するので、この等式は負の整数でもそのまま使えます。したがって $k \geq 2$ のとき\n $ζ_{K} (1 - k) = ζ (1 - k) L (1 - k, χ_{D}) = (- \frac{B _{k}}{k}) (- \frac{B _{k, χ_{D}}}{k}) = \frac{B _{k} B _{k, χ_{D}}}{k ^{2}} .$ \n $χ_{D} (- 1)$ は $D > 0$ （実 2 次体）なら $1$ 、 $D < 0$ （虚 2 次体）なら $- 1$ です。 $χ_{D} (- 1) \neq = (- 1)^{k}$ のとき $L (1 - k, χ_{D}) = 0$ なので、実 2 次体では $k$ が奇数のとき、虚 2 次体では $k$ が偶数のとき $L (1 - k, χ_{D}) = 0$ です。また $k \geq 3$ が奇数なら $B_{k} = 0$ で $ζ (1 - k) = 0$ です。まとめると、実 2 次体では $k$ が偶数のときだけ $ζ_{K} (1 - k) \neq = 0$ （たとえば $ζ_{K} (- 1)$ ）、虚 2 次体では $k \geq 2$ のすべてで $ζ_{K} (1 - k) = 0$ （ $k = 2$ の $ζ_{K} (- 1) = 0$ は $L (- 1, χ_{D}) = 0$ による）です。

手順

$K = Q (d)$ の判別式 $D$ を求める。 $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $D = d$ 、 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $D = 4 d$ 。 $χ_{D}$ の導手は $f = ∣ D ∣$ 。
素数の分解（分解・惰性・分岐 $\leftrightarrow χ_{D} (p) = 1, - 1, 0$ ）とオイラー因子を照らし合わせ、 $ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ_{D})$ と書く。
$χ_{D} (a)$ を $1 \leq a \leq ∣ D ∣$ で表にする（ $g cd (a, D) > 1$ なら $0$ ）。 $χ_{D} (- 1)$ （実 2 次体なら $1$ 、虚 2 次体なら $- 1$ ）と $(- 1)^{k}$ を比べ、求める点で $L (1 - k, χ_{D})$ が $0$ になるかを先に判定する。
$B_{k, χ_{D}} = f^{k - 1} \sum_{a = 1}^{f} χ_{D} (a) B_{k} (\frac{a}{f})$ を計算し、 $L (1 - k, χ_{D}) = - \frac{B _{k, χ_{D}}}{k}$ を求める。
$ζ (1 - k) = - \frac{B _{k}}{k}$ （たとえば $ζ (- 1) = - \frac{1}{12}$ ）と掛けて $ζ_{K} (1 - k) = ζ (1 - k) L (1 - k, χ_{D})$ を求める。

例題

$K = Q (2)$ のデデキントゼータ関数 $ζ_{K} (s)$ について、 $ζ_{K} (- 1)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $2 \equiv 2 (mod 4)$ なので判別式は $D = 4 \cdot 2 = 8$ 、導手 $f = 8$ 。\n\n手順 2: 分解・惰性・分岐のどの場合もオイラー因子が $(1 - p^{- s})^{- 1} (1 - χ_{8} (p) p^{- s})^{- 1}$ となるので $ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ_{8})$ 。よって $ζ_{K} (- 1) = ζ (- 1) L (- 1, χ_{8})$ 。\n\n手順 3: $χ_{8}$ は $8$ を法とする原始的な 2 次指標で、奇素数 $p$ では $(\frac{8}{p}) = (\frac{2}{p})$ なので第 2 補充法則から $χ_{8} (1) = 1$ , $χ_{8} (3) = - 1$ , $χ_{8} (5) = - 1$ , $χ_{8} (7) = 1$ 、偶数 $a$ では $0$ 。 $χ_{8} (- 1) = χ_{8} (7) = 1$ （実 2 次体）で、 $k = 2$ について $χ_{8} (- 1) = (- 1)^{2}$ なので $L (- 1, χ_{8})$ は自動的には $0$ にならない。\n\n手順 4: $B_{2} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{6}$ 。 $\sum_{a} χ_{8} (a) = 0$ なので定数項は消え、\n $B_{2, χ_{8}} = 8 a \sum χ_{8} (a) (\frac{a ^{2}}{64} - \frac{a}{8}) = \frac{1}{8} a \sum χ_{8} (a) (a^{2} - 8 a) .$ \n $a^{2} - 8 a$ は $a = 1, 3, 5, 7$ で $- 7, - 15, - 15, - 7$ なので、 $\sum_{a} χ_{8} (a) (a^{2} - 8 a) = - 7 + 15 + 15 - 7 = 16$ 。よって $B_{2, χ_{8}} = 2$ 、 $L (- 1, χ_{8}) = - \frac{2}{2} = - 1$ 。\n\n手順 5: $ζ (- 1) = - \frac{B _{2}}{2} = - \frac{1}{12}$ なので\n $ζ_{K} (- 1) = (- \frac{1}{12}) (- 1) = \frac{1}{12} .$

答え: $\frac{1}{12}$

よくある誤り

$Q (d)$ の指標を法 $d$ でとってしまう誤り。 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ では判別式は $D = 4 d$ で、正しくは $χ_{D}$ を法 $∣ D ∣$ でとる。 $Q (2)$ なら法 $8$ の $χ_{8}$ （法 $2$ には原始的な 2 次指標がない）、 $Q (3)$ なら法 $12$ の $χ_{12}$ 。
惰性素数の因子を $(1 - p^{- s})^{- 1}$ や $(1 + p^{- s})^{- 1}$ としてしまう誤り。惰性素数 $p$ では素イデアル $p O_{K}$ のノルムが $p^{2}$ なので、正しくは $(1 - p^{- 2 s})^{- 1} = (1 - p^{- s})^{- 1} (1 + p^{- s})^{- 1}$ で、 $ζ (s)$ の因子と $L (s, χ_{D})$ の因子（ $χ_{D} (p) = - 1$ ）の積になる。
虚 2 次体でも $L (- 1, χ_{D})$ を 0 でない値として計算してしまう誤り。 $D < 0$ なら $χ_{D} (- 1) = - 1 \neq = (- 1)^{2}$ なので $B_{2, χ_{D}} = 0$ で $L (- 1, χ_{D}) = 0$ 、正しくは $ζ_{K} (- 1) = 0$ （たとえば $Q (- 1)$ , $D = - 4$ で $ζ_{K} (- 1) = ζ (- 1) \cdot 0 = 0$ ）。逆に実 2 次体で $0$ になるのは $k$ が奇数のとき（ $L (1 - k, χ_{D}) = 0$ かつ $k \geq 3$ なら $ζ (1 - k) = 0$ ）である。
$ζ (- 1)$ の値や $L (1 - k, χ)$ の符号を落としてしまう誤り。正しくは $ζ (- 1) = - \frac{1}{12}$ , $L (- 1, χ_{D}) = - \frac{B _{2, χ_{D}}}{2}$ で、 $ζ_{K} (- 1) = \frac{B _{2} B _{2, χ_{D}}}{4} = \frac{B _{2, χ_{D}}}{24}$ 。 $Q (2)$ なら $\frac{2}{24} = \frac{1}{12}$ で、符号は正になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$K = Q (2)$ とし、 $O_{K} = Z [2]$ をその整数環とする。 $K$ のデデキントゼータ関数を、 $Re s > 1$ で
$ζ_{K} (s) = a \sum N (a)^{- s}$
（ $a$ は $O_{K}$ の $0$ でないイデアル全体を動く）で定め、複素平面全体に有理型に解析接続したものとする。 $ζ_{K} (- 1)$ の値を求めよ。
ただし、 $K$ の判別式は $D = 8$ であり、ベルヌーイ多項式 $B_{2} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{6}$ 、法 $f$ の原始的指標 $χ$ の一般ベルヌーイ数 $B_{2, χ} = f \sum_{a = 1}^{f} χ (a) B_{2} (\frac{a}{f})$ 、および $L (- 1, χ) = - \frac{B _{2, χ}}{2}$ 、 $ζ (- 1) = - \frac{1}{12}$ を用いてよい。

2 次体のデデキントゼータ関数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題