解析的整数論の問題

$\chi$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して $$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,7(\mathrm{mod}8))\\ -1& (n\equiv 3,5(\mathrm{mod}8))\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$ で定まるものとする（これは導手 $8$ の原始的指標である）。$L(s,\chi )={\sum }_{n=1}^{\infty }\chi (n)n^{-s}$ を全複素平面に解析接続した関数について、$L(-1,\chi )$ の値を求めよ。ただし、ベルヌーイ多項式 $B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$ を用いてよい。

法 $12$ のディリクレ指標 $\chi$ を
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}12))\\ -1& (n\equiv \pm 5(\mathrm{mod}12))\\ 0& (\gcd (n,12)>1)\end{array}$$
で定め、$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}$ とする。$L(1,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n}$ の値を求めよ。

$\chi$ を法 $7$ のルジャンドル記号から定まるディリクレ指標とする。すなわち、整数 $n$ に対して
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,2,4(\mathrm{mod}7))\\ -1& (n\equiv 3,5,6(\mathrm{mod}7))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}7))\end{array}$$
とする。$\mathrm{Re}s>1$ で $L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}$ と定めた関数は複素平面全体に正則に解析接続される。この解析接続による値 $L(-2,\chi )$ を求めよ。

$\chi$ を法 $3$ の原始的ディリクレ指標とする。すなわち、整数 $n$ に対して
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}3))\\ -1& (n\equiv 2(\mathrm{mod}3))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}3))\end{array}$$
と定める。$\mathrm{Re}s>1$ で
$$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}$$
と定め、これを複素平面全体の正則関数に解析接続したものも同じ記号 $L(s,\chi )$ で表す。このとき、値 $L(-4,\chi )$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。また $\chi$ を法 $4$ の非自明なディリクレ指標とする。すなわち
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}4))\\ -1& (n\equiv 3(\mathrm{mod}4))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}2))\end{array}$$
である。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)d(n{)}^2}{n^3}$$
は絶対収束する。$S$ の値を求めよ。