解析的整数論の問題

$\chi$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して $$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,7(\mathrm{mod}8))\\ -1& (n\equiv 3,5(\mathrm{mod}8))\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$ で定まるものとする（これは導手 $8$ の原始的指標である）。$L(s,\chi )={\sum }_{n=1}^{\infty }\chi (n)n^{-s}$ を全複素平面に解析接続した関数について、$L(-1,\chi )$ の値を求めよ。ただし、ベルヌーイ多項式 $B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$ を用いてよい。

法 $5$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、整数 $n$ に対して $5\nmid n$ のとき $\chi (n)=\chi (n\mathrm{mod}5)$、$5\mid n$ のとき $\chi (n)=0$ と定めて整数全体に延ばしたものとする。$i$ を虚数単位とし、法 $5$ のディリクレ指標 $\chi$ が $\chi (2)=i$ を満たすとする。このとき $$S=\sum _{n=1}^{4}n\chi (n)$$ の値を求めよ。

$\chi$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して $$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,7(\mathrm{mod}8))\\ -1& (n\equiv 3,5(\mathrm{mod}8))\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$ で定まるものとする（導手 $8$ の原始的指標である）。$$L(2,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^2}$$ の値を求めよ。ただし、導手 $f$ の原始的な偶指標 $\chi$（$\chi (-1)=1$ を満たすもの）と正の偶数 $k$ に対して成り立つ公式 $$L(k,\chi )=(-1{)}^{1+\frac{k}{2}}\frac{\tau (\chi )}{2}{\left(\frac{2\pi }{f}\right)}^k\frac{B_{k,\bar{\chi }}}{k!}$$ を用いてよい。ここで $\tau (\chi )={\sum }_{a=1}^f\chi (a)e^{2\pi ia/f}$ はガウス和、$B_{k,\chi }=f^{k-1}{\sum }_{a=1}^f\chi (a)B_k\left(\frac{a}{f}\right)$ は一般ベルヌーイ数、$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$ である。

$\chi$ を法 $5$ のルジャンドル記号から定まるディリクレ指標とする。すなわち、整数 $n$ に対して $$\chi (n)=\left(\frac{n}{5}\right)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,4(\mathrm{mod}5))\\ -1& (n\equiv 2,3(\mathrm{mod}5))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}5))\end{array}$$ とする。$$L(1,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n}$$ の値を求めよ。ただし、${\zeta }_5=e^{2\pi i/5}$ とおくとき、ガウス和 $\tau (\chi )={\sum }_{a=1}^4\chi (a){\zeta }_5^a$ の値が $\sqrt{5}$ であることを用いてよい。

$\chi$ を法 $4$ の原始的ディリクレ指標
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が偶数})\\ 1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}4))\\ -1& (n\equiv 3(\mathrm{mod}4))\end{array}$$
とし、$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}$（$\mathrm{Re}s>1$）を複素平面全体に解析接続した関数とする。$L(-2,\chi )$ の値を求めよ。