を法 のルジャンドル記号から定まるディリクレ指標とする。すなわち、整数 に対して とする。 の値を求めよ。ただし、 とおくとき、ガウス和 の値が であることを用いてよい。
L(1,χ) の値
と指標の有限フーリエ展開（ガウス和）を使い、偶指標では 、奇指標では の有理数倍×代数的数の形で を求められる（例: 法 の指標で ）
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説明
導手 の原始的ディリクレ指標 （単位指標でないもの）に対して、条件収束する級数 の値を閉じた形で求めます。指標を 1 の 乗根 のべきの重ね合わせで書き直し（有限フーリエ展開）、 を代入するのが方法です。結果は、偶指標なら の一次結合、奇指標なら の有理数倍と代数的数の積になり、2 次体の類数公式などの具体的な計算の土台になります。
なぜそうしてよいのか
ガウス和を と定め、 とおきます。まず、すべての整数 で を示します。 なら は法 の剰余類の並べかえなので です（ から ）。 のときは右辺が なので を示せばよく、ここで原始性を使います。、 とおくと は だけで決まります。 で は法 の指標から誘導されないので、、、 を満たす があります（ なら、 が単位指標でないことそのもの）。 も法 の剰余類の並べかえで、 より なので 、 から です。次に を示します。 を二通りに計算すると、上の結果からは 、展開すると （内側の和は で 、それ以外で ）なので 。一方 なので 、 より です。特に で、すべての について
これを に代入します。 の和は有限で、 の項は で消えるので、残るのは （）での の一次結合です。この級数は の部分和が有界（）なので部分和で書き直す変形により収束し、収束する点ではべき級数は半径方向に連続（アーベルの定理）なので、値は での等式 （ は偏角を にとる主枝）の極限 です。収束する級数の有限一次結合は項ごとにまとめてよいので
のとき （、）より です。実部は で不変、虚部は符号が変わります。偶指標（、）では虚部が打ち消し合い
奇指標（、）では実部が打ち消し合い、 で の項も消えて
となります。例えば では 、 で と、ライプニッツの級数の値が出ます。
手順
が原始的であることと導手 、偶奇 を確かめる（法 の原始的でない指標なら、誘導する原始的指標 で計算し、 の倍数の項を包除原理で除く式 で戻す）
ガウス和 を求める。2 次指標なら二次ガウス和の値が使える
偶指標なら を計算する
奇指標なら を計算する
三角関数の値や対数の性質で式を整理する（偶指標の対数の中身は単数のべきにまとまることが多い）
例題
（ルジャンドル記号。 なら ）とする。 の値を求めよ。
例題の解答
【手順 1】 は法 5 の単位指標でない指標で、5 は素数なので原始的、。 なので偶指標。値は 、 で実数値（）。
【手順 2】 とする。 は を 1 回、平方剰余 を 2 回ずつとるので 。 より 。 なので 。
【手順 3】偶指標の公式より
、 より、括弧内は （2 倍角の公式 ）。
（手順 4 は奇指標の場合なので使わない。）
【手順 5】 より 。よって括弧内は で
答え:
よくある誤り
として を落とす誤り。奇指標で符号が逆になり、例えば が出てしまう。正しくは で、、。
奇指標でも の和を使ってしまう誤り。奇指標では が で不変なので となり、 という誤った結論になる。正しくは虚部 が残り、。
原始的でない指標で、導手で計算した値をそのまま答えにしてしまう誤り（または法 を として公式に当てはめる誤り。 で展開 が成り立たない）。例えば法 で から誘導される指標 に対し とするのは誤り。 の項が抜けているので、、 から正しくは 。
の偏角を主枝の外でとってしまう誤り（例: の偏角を とする）。正しくは より、 で偏角は 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。