フーリエ解析の問題

二次ガウス和を $G(N)=\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{2\pi i{n}^2/N}$ とおくと、
$$G(N)=\{\begin{array}{ll}(1+i)\sqrt{N}& (N\equiv 0(\mathrm{mod}4))\\ \sqrt{N}& (N\equiv 1(\mathrm{mod}4))\\ 0& (N\equiv 2(\mathrm{mod}4))\\ i\sqrt{N}& (N\equiv 3(\mathrm{mod}4))\end{array}$$
である。

手順 1: $S$ を $G(20)$ の共役として表す。

$n$ が実数（整数）なので $\overline{e^{2\pi i{n}^2/20}}=e^{-2\pi i{n}^2/20}$。和の共役は共役の和だから
$$S=\overline{\sum _{n=0}^{19}{e}^{2\pi i{n}^2/20}}=\overline{G(20)}.$$

手順 2: $G(20)$ の値を求める。

$20=4\cdot 5$ より $20\equiv 0(\mathrm{mod}4)$。よって
$$G(20)=(1+i)\sqrt{20}=2\sqrt{5}(1+i).$$

手順 3: 共役をとる。
$$S=\overline{2\sqrt{5}(1+i)}=2\sqrt{5}(1-i)=2\sqrt{5}-2\sqrt{5}i.$$

（検算: $|S{|}^2=(2\sqrt{5}{)}^2\cdot |1-i{|}^2=20\cdot 2=40=2N$ であり、$N\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ のとき $|G(N)|=\sqrt{2N}$ となる性質と一致する。）

ガウス和 $G(N)={\sum }_{n=0}^{N-1}{e}^{2\pi i{n}^2/N}$ は、$N\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ のとき $G(N)=(1+i)\sqrt{N}$ である（$N\equiv 1,2,3(\mathrm{mod}4)$ ではそれぞれ $\sqrt{N},0,i\sqrt{N}$）。検算として $N=4$: $n=0,1,2,3$ の項は $1,i,1,i$ で和は $2+2i=(1+i)\sqrt{4}$ となり成り立つ。\n\n今回の $S={\sum }_{n=0}^{19}{e}^{-2\pi i{n}^2/20}$ は $G(20)$ の複素共役である。$20\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ より $G(20)=(1+i)\sqrt{20}=2\sqrt{5}(1+i)$。したがって\n$$S=\overline{G(20)}=(1-i)\sqrt{20}=2\sqrt{5}-2\sqrt{5}i.$$\n\n別の確認: $N=20=4\cdot 5$ として中国剰余定理で分解すると $G(20)=G_4(5)G_5(4)$ の形（$n=5a+4b$ とおく）。${\sum }_a{e}^{2\pi i\cdot 5a^2/4}\cdot {\sum }_b{e}^{2\pi i\cdot 4b^2/5}$ で、前者は $a=\mathrm{0..3}$ について $1+i+1+i=2+2i$（$5a^2\equiv a^2\mathrm{mod}4$）、後者は ${\sum }_{b=0}^4{e}^{2\pi i\cdot 4b^2/5}$ で、$4$ は 5 を法として平方剰余（$2^2$）なので $\sqrt{5}$。積 $(2+2i)\sqrt{5}=2\sqrt{5}(1+i)$ となり一致する。