フーリエ解析の問題

$f$ は奇関数なので、フーリエ級数は正弦級数 ${\sum }_{n\ge 1}{b}_n\sin nx$ で
$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x(\pi -x)\sin nxdx.$$
部分積分を行う。$u=x(\pi -x)$ とすると $u^{\prime }=\pi -2x$、$u^{\prime \prime }=-2$ で、$u(0)=u(\pi )=0$ だから
$${\int }_0^{\pi }u\sin nxdx={\left[-\frac{u\cos nx}{n}\right]}_0^{\pi }+\frac{1}{n}{\int }_0^{\pi }{u}^{\prime }\cos nxdx=\frac{1}{n}\left({\left[\frac{u^{\prime }\sin nx}{n}\right]}_0^{\pi }+\frac{2}{n}{\int }_0^{\pi }\sin nxdx\right)=\frac{2}{n^3}\left(1-(-1{)}^n\right).$$
よって $b_n=\frac{4(1-(-1{)}^n)}{\pi n^3}$、すなわち $n$ が奇数のとき $b_n=\frac{8}{\pi n^3}$、偶数のとき $0$。

パーセバルの等式 $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx={\sum }_{n\ge 1}{b}_n^2$ の左辺は
$$\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^2(\pi -x{)}^{2}dx=\frac{2}{\pi }\left(\frac{{\pi }^5}{3}-\frac{2{\pi }^5}{4}+\frac{{\pi }^5}{5}\right)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^5}{30}=\frac{{\pi }^4}{15}.$$
右辺は $\sum _{k\ge 1}\frac{64}{{\pi }^2(2k-1{)}^6}=\frac{64}{{\pi }^2}S$。したがって
$$S=\frac{{\pi }^4}{15}\cdot \frac{{\pi }^2}{64}=\frac{{\pi }^6}{960}.$$
（検算: $\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$ を使うと $S=\left(1-\frac{1}{64}\right)\zeta (6)=\frac{63}{64}\cdot \frac{{\pi }^6}{945}=\frac{{\pi }^6}{960}$ で一致する。）

$f$ は奇関数 ($f(-x)=-x(\pi -|x|)=-f(x)$) なので余弦係数は $0$、$[0,\pi ]$ 上で $f(x)=x(\pi -x)$ として
$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x(\pi -x)\sin nxdx.$$
部分積分を 2 回行う: ${\int }_0^{\pi }x(\pi -x)\sin nxdx={\left[-\frac{x(\pi -x)\cos nx}{n}\right]}_0^{\pi }+\frac{1}{n}{\int }_0^{\pi }(\pi -2x)\cos nxdx$、境界項は $0$。さらに ${\int }_0^{\pi }(\pi -2x)\cos nxdx={\left[\frac{(\pi -2x)\sin nx}{n}\right]}_0^{\pi }+\frac{2}{n}{\int }_0^{\pi }\sin nxdx=\frac{2(1-(-1{)}^n)}{n^2}$。したがって積分は $\frac{2(1-(-1{)}^n)}{n^3}$、
$$b_n=\frac{4(1-(-1{)}^n)}{\pi n^3}=\{\begin{array}{ll}\frac{8}{\pi n^3}& (n\text{ 奇数})\\ 0& (n\text{ 偶数})\end{array}$$

パーセバルの等式 $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^{2}dx={\sum }_{n\ge 1}{b}_n^2$ を使う。
左辺 $=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^2(\pi -x{)}^{2}dx=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^5}{30}=\frac{{\pi }^4}{15}$ (${\int }_0^1{u}^2(1-u{)}^{2}du=\frac{1}{30}$)。
右辺 $=\frac{64}{{\pi }^2}{\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{(2k-1{)}^6}=\frac{64}{{\pi }^2}S$。

ゆえに $S=\frac{{\pi }^2}{64}\cdot \frac{{\pi }^4}{15}=\frac{{\pi }^6}{960}$。

検算: $\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$ で $S=\left(1-\frac{1}{64}\right)\zeta (6)=\frac{63}{64}\cdot \frac{{\pi }^6}{945}=\frac{{\pi }^6}{960}$。一致。