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フーリエ解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学フーリエ解析

$2 π$ 周期関数 $f (x) = ∣ sin x ∣$ の $[- π, π]$ におけるフーリエ級数を求め、パーセバルの等式を用いて、無限級数
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{( 4 n ^{2} - 1 ) ^{2}}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

フーリエ級数（説明と入口の問題）
パーセバルの等式と級数の和（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
三角関数の積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$∣ sin x ∣$ は偶関数なので余弦級数になります。係数を計算してからパーセバルの等式に代入しましょう。

ヒント 2

$sin x cos n x = \frac{1}{2} {sin (1 + n) x + sin (1 - n) x}$ を使うと、 $n$ が奇数のとき係数は $0$ 、 $n = 2 m$ のとき分母に $4 m^{2} - 1$ が現れます。

ヒント 3

$a_{0} = \frac{4}{π}$ , $a_{2 m} = - \frac{4}{π ( 4 m ^{2} - 1 )}$ です。パーセバルの等式の左辺 $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} sin^{2} x d x$ は $1$ になります。

答えと解説

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\frac{π ^{2} - 8}{16}

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解説を読む

フーリエ係数を $a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x$ , $b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x$ とする。 $f$ は偶関数なので $b_{n} = 0$ であり、
$a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x cos n x d x .$
$n = 0$ のとき $a_{0} = \frac{2}{π} \cdot 2 = \frac{4}{π}$ 。 $n = 1$ のとき $\int_{0}^{π} sin x cos x d x = 0$ 。 $n \geq 2$ のとき $sin x cos n x = \frac{1}{2} {sin (1 + n) x + sin (1 - n) x}$ より
$\int_{0}^{π} sin x cos n x d x = \frac{1}{2} {\frac{1 - cos ( 1 + n ) π}{1 + n} + \frac{1 - cos ( 1 - n ) π}{1 - n}} .$
$n$ が奇数なら $cos (1 \pm n) π = 1$ でこれは $0$ 、 $n$ が偶数なら $cos (1 \pm n) π = - 1$ で $\frac{1}{1 + n} + \frac{1}{1 - n} = \frac{2}{1 - n ^{2}}$ 。よって $n = 2 m (m \geq 1)$ に対し
$a_{2 m} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2}{1 - 4 m ^{2}} = - \frac{4}{π ( 4 m ^{2} - 1 )},$
それ以外の $n \geq 1$ では $a_{n} = 0$ 。したがって
$∣ sin x ∣ = \frac{2}{π} - \frac{4}{π} m = 1 \sum \infty \frac{cos 2 m x}{4 m ^{2} - 1} .$

パーセバルの等式 $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} ∣ f (x) ∣^{2} d x = \frac{a _{0}^{2}}{2} + \sum_{n \geq 1} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$ を用いる。左辺は $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} sin^{2} x d x = \frac{1}{π} \cdot π = 1$ 。右辺は
$\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{π ^{2}} + \frac{16}{π ^{2}} m = 1 \sum \infty \frac{1}{( 4 m ^{2} - 1 ) ^{2}} .$
よって
$m = 1 \sum \infty \frac{1}{( 4 m ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{16} (1 - \frac{8}{π ^{2}}) = \frac{π ^{2} - 8}{16} .$

別解

$f (x) = ∣ sin x ∣$ は偶関数。 $a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x d x = \frac{4}{π}$ 。 $a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x cos n x d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} [sin (n + 1) x - sin (n - 1) x] d x$ 。 $n$ が奇数（ $n \neq = 1$ ）のとき 0、 $n = 1$ のとき 0、 $n = 2 k$ のとき $a_{2 k} = \frac{1}{π} [\frac{2}{2 k + 1} - \frac{2}{2 k - 1}] = - \frac{4}{π ( 4 k ^{2} - 1 )}$ 。 $b_{n} = 0$ 。
フーリエ級数: $∣ sin x ∣ = \frac{2}{π} - \frac{4}{π} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{c o s 2 k x}{4 k ^{2} - 1}$ 。
パーセバル: $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} sin^{2} x d x = 1 = \frac{a _{0}^{2}}{2} + \sum_{k \geq 1} a_{2 k}^{2} = \frac{8}{π ^{2}} + \frac{16}{π ^{2}} \sum_{k \geq 1} \frac{1}{( 4 k ^{2} - 1 ) ^{2}}$ 。
よって $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{( 4 n ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{16} (1 - \frac{8}{π ^{2}}) = \frac{π ^{2} - 8}{16}$ 。
検算: 数値で $\frac{9.8696 - 8}{16} = 0.11685$ 。級数は $1/9 + 1/225 + 1/1225 + 1/3969 + \dots = 0.1111 + 0.00444 + 0.000816 + 0.000252 + 0.000108 + \dots \approx 0.1168$ 。一致。

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