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フーリエ解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学フーリエ解析

$[- π, π]$ 上の関数 $f (x) = cos \frac{x}{3}$ を周期 $2 π$ で $R$ 全体に拡張した関数（同じ記号 $f$ で表す）のフーリエ級数 $\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x), a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x, b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x$ を求め、それを $x = π$ で考えることにより、無限級数 $S = n = 1 \sum \infty \frac{1}{9 n ^{2} - 1}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

フーリエ級数（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
フーリエ級数の各点収束と級数の値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f$ は偶関数なので余弦級数になる。積和の公式で $a_{n}$ を計算しよう。

ヒント 2

$a = \frac{1}{3}$ として $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} sin aπ}{π} \cdot \frac{2 a}{a ^{2} - n ^{2}}$ となる。周期拡張は連続なので、フーリエ級数は $x = π$ でも $f (π)$ に収束する。

ヒント 3

$x = π$ を代入すると $\frac{1}{2} = \frac{3}{2 π} (3 + 6 n = 1 \sum \infty \frac{1}{1 - 9 n ^{2}})$ が得られる。

答えと解説

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\frac{1}{2} - \frac{3 π}{18}

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解説を読む

$a = \frac{1}{3}$ とおく。 $f (x) = cos a x$ は偶関数なので $b_{n} = 0$ 。

係数の計算. $n \geq 0$ に対し
$a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} cos a x cos n x d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} {cos (a + n) x + cos (a - n) x} d x = \frac{1}{π} (\frac{sin ( a + n ) π}{a + n} + \frac{sin ( a - n ) π}{a - n}) .$
$sin (a \pm n) π = sin aπ cos nπ = (- 1)^{n} sin aπ$ だから
$a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} sin aπ}{π} (\frac{1}{a + n} + \frac{1}{a - n}) = \frac{( - 1 ) ^{n} sin aπ}{π} \cdot \frac{2 a}{a ^{2} - n ^{2}} .$
特に $a_{0} = \frac{2 sin aπ}{π a}$ 。よって
$f (x) \sim \frac{sin aπ}{π} (\frac{1}{a} + n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} 2 a}{a ^{2} - n ^{2}} cos n x) .$
$a = \frac{1}{3}$ では $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ , $\frac{2 a}{a ^{2} - n ^{2}} = \frac{2/3}{( 1 - 9 n ^{2} ) /9} = \frac{6}{1 - 9 n ^{2}}$ なので
$f (x) \sim \frac{3}{2 π} (3 + n = 1 \sum \infty \frac{6 ( - 1 ) ^{n}}{1 - 9 n ^{2}} cos n x) .$

収束. $f$ は偶関数なので $f (- π) = f (π)$ であり、周期拡張した関数は $R$ 上連続かつ区分的に滑らかである。したがってフーリエ級数はすべての点で $f (x)$ に収束する（実際 $a_{n} = O (n^{- 2})$ なので一様絶対収束する）。

$x = π$ を代入. $cos nπ = (- 1)^{n}$ より $(- 1)^{n} cos nπ = 1$ 、また $f (π) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ だから
$\frac{1}{2} = \frac{3}{2 π} (3 + 6 n = 1 \sum \infty \frac{1}{1 - 9 n ^{2}}) = \frac{3}{2 π} (3 - 6 S) .$
よって $3 - 6 S = \frac{π}{3}$ となり
$S = \frac{1}{2} - \frac{π}{6 3} = \frac{1}{2} - \frac{3 π}{18} .$
（数値的には $S \approx 0.1977$ で、部分和 $\frac{1}{8} + \frac{1}{35} + \frac{1}{80} + \dots$ と整合する。）

別解

$f$ は偶関数なので $b_{n} = 0$ 。 $cos \frac{x}{3} cos n x = \frac{1}{2} [cos (n + \frac{1}{3}) x + cos (n - \frac{1}{3}) x]$ より
$a_{n} = \frac{1}{π} [\frac{s i n ( n + \frac{1}{3} ) π}{n + \frac{1}{3}} + \frac{s i n ( n - \frac{1}{3} ) π}{n - \frac{1}{3}}]$ 。 $sin (nπ \pm \frac{π}{3}) = \pm (- 1)^{n} \frac{3}{2}$ なので
$a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} 3}{2 π} [\frac{1}{n + \frac{1}{3}} - \frac{1}{n - \frac{1}{3}}] = \frac{( - 1 ) ^{n} 3}{2 π} \cdot \frac{- \frac{2}{3}}{n ^{2} - \frac{1}{9}} = \frac{3 3 ( - 1 ) ^{n + 1}}{π ( 9 n ^{2} - 1 )}$ ( $n \geq 1$ )。
$a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} cos \frac{x}{3} d x = \frac{6 s i n \frac{π}{3}}{π} = \frac{3 3}{π}$ (これは上の式で $n = 0$ としたものと一致)。

よってフーリエ級数は $\frac{3 3}{2 π} + \frac{3 3}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{9 n ^{2} - 1} cos n x$ 。

$f$ は連続で区分的に滑らかなので、 $x = π$ で級数は $f (π) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ に収束する。 $cos nπ = (- 1)^{n}$ より $(- 1)^{n + 1} cos nπ = - 1$ なので
$\frac{1}{2} = \frac{3 3}{2 π} - \frac{3 3}{π} S$ 。
$S = \frac{π}{3 3} (\frac{3 3}{2 π} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{π}{6 3} = \frac{1}{2} - \frac{3 π}{18}$ 。

確かめ: 数値は $\approx 0.5 - 0.3023 = 0.1977$ 。部分和 $\frac{1}{8} + \frac{1}{35} + \frac{1}{80} + \frac{1}{143} + \frac{1}{224} \approx 0.1795$ に残り（ $\approx \sum_{n \geq 6} \frac{1}{9 n ^{2}} \approx 0.018$ ）を足すと一致する。

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