フーリエ級数の各点収束と級数の値

区分的に $C^{1}$ 級の周期関数のフーリエ級数が、各点で $\frac{f ( x + 0 ) + f ( x - 0 )}{2}$ に収束することを使える。特定の $x$ を代入して級数の和を求められる。例: $cos a x$ の展開に $x = π$ を代入して $π cot π a = \frac{1}{a} + \sum_{n \geq 1} \frac{2 a}{a ^{2} - n ^{2}}$ を導く

前提

フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

周期 $2 π$ の関数 $f$ が区分的に $C^{1}$ 級（1 周期の中の有限個の点を除いて $C^{1}$ 級で、その点では $f$ と $f^{'}$ の左右の極限が存在する）なら、フーリエ級数はすべての点 $x$ で $\frac{f ( x + 0 ) + f ( x - 0 )}{2}$ に収束します。 $f$ が連続な点ではこれは $f (x)$ そのもの、跳びのある点では左右の極限の平均です。この事実を使い、フーリエ展開に特定の $x$ を代入すると、 $\sum \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ のような無限級数の和や、 $π cot π a = \frac{1}{a} + \sum_{n \geq 1} \frac{2 a}{a ^{2} - n ^{2}}$ のような等式が得られます。

なぜそうしてよいのか

$f \sim \frac{a _{0}}{2} + \sum_{n \geq 1} (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$ の第 $N$ 部分和 $S_{N} (x)$ に、係数の定義 $a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t) cos n t d t$ , $b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t) sin n t d t$ を代入し、加法定理 $cos n t cos n x + sin n t sin n x = cos n (t - x)$ を使うと、 $f$ の周期性から $S_{N} (x) = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x + t) D_{N} (t) d t, D_{N} (t) = \frac{1}{2} + k = 1 \sum N cos k t$ と書けます。積和の公式 $2 sin \frac{t}{2} cos k t = sin (k + \frac{1}{2}) t - sin (k - \frac{1}{2}) t$ で和が打ち消し合い、 $D_{N} (t) = \frac{sin ( N + \frac{1}{2} ) t}{2 sin \frac{t}{2}}$ （ $0 < ∣ t ∣ \leq π$ ）となります。また $D_{N}$ は偶関数で $\int_{0}^{π} D_{N} (t) d t = \frac{π}{2}$ です（ $k \geq 1$ の $cos k t$ の積分は $0$ ）。よって $S_{N} (x) = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} {f (x + t) + f (x - t)} D_{N} (t) d t$ で、 $\int_{0}^{π} D_{N} = \frac{π}{2}$ を使うと $S_{N} (x) - \frac{f ( x + 0 ) + f ( x - 0 )}{2} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} g_{+} (t) sin (N + \frac{1}{2}) t d t + \frac{1}{π} \int_{0}^{π} g_{-} (t) sin (N + \frac{1}{2}) t d t,$ $g_{\pm} (t) = \frac{f ( x \pm t ) - f ( x \pm 0 )}{2 sin \frac{t}{2}} (0 < t \leq π)$ となります。

ここで次の事実（リーマン・ルベーグの補題）を使います: 「 $g$ が $(0, π]$ で有界で、有限個の点を除いて連続（区分的に連続）なら、 $λ \to \infty$ のとき $\int_{0}^{π} g (t) sin λ t d t \to 0$ 」。理由: まず $g$ が区間 $[α, β]$ 上で定数 $c$ なら $\int_{α}^{β} c sin λ t d t = ∣ c ∣ \cdot \frac{∣ c o s λ α - c o s λ β ∣}{λ} \leq \frac{2∣ c ∣}{λ} \to 0$ なので、有限個の区間で定数の関数（階段関数） $s$ でも $\int_{0}^{π} s (t) sin λ t d t \to 0$ 。一般の $g$ は有界で区分的に連続なので積分でき、任意の $ε > 0$ に対し $\int_{0}^{π} ∣ g - s ∣ d t < ε$ となる階段関数 $s$ がとれます（区間を細かく分け、各小区間で $g$ の下限をとった関数でよい）。すると $\int_{0}^{π} g sin λ t d t \leq \int_{0}^{π} ∣ g - s ∣ d t + \int_{0}^{π} s sin λ t d t < ε + \int_{0}^{π} s sin λ t d t$ で、右辺第 2 項は $λ$ が大きければ $ε$ 未満になります。

あとは $g_{\pm}$ がこの仮定を満たすことを確かめます。 $f$ は区分的に $C^{1}$ 級なので、十分小さい $δ > 0$ をとると $f$ は $(x, x + δ)$ で $C^{1}$ 級、 $f^{'}$ は有界（ $∣ f^{'} ∣ \leq M$ ）で、 $f (x)$ を $f (x + 0)$ に置きかえれば $[x, x + t]$ で連続です。平均値の定理から $0 < t < δ$ で $∣ f (x + t) - f (x + 0) ∣ \leq M t$ 。また $0 < t \leq π$ で $sin \frac{t}{2} \geq \frac{t}{π}$ （ $sin$ のグラフは $[0, \frac{π}{2}]$ で弦より上）なので $∣ g_{+} (t) ∣ \leq \frac{M t}{2 t / π} = \frac{π M}{2}$ と、 $t \to + 0$ の近くで有界です。 $t \geq δ$ では分母 $2 sin \frac{t}{2} \geq 2 sin \frac{δ}{2} > 0$ で、 $f$ は有界かつ区分的に連続なので $g_{+}$ も有界かつ区分的に連続。 $g_{-}$ も同様です。よって $λ = N + \frac{1}{2}$ として両方の積分が $0$ に近づき、 $S_{N} (x) \to \frac{f ( x + 0 ) + f ( x - 0 )}{2}$ が示されました。跳びのある点では、 $x$ の右側から $f (x + 0)$ 、左側から $f (x - 0)$ が半分ずつ（ $\int_{0}^{π} D_{N} = \frac{π}{2}$ ずつ）寄与するので平均になる、と理解できます。

手順

和を求めたい級数に合う関数 $f$ を選び、区間 $[- π, π)$ （など 1 周期）で定めて周期 $2 π$ に拡張する。区分的に $C^{1}$ 級であることを確かめる。
フーリエ係数 $a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x$ , $b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x$ を計算し、 $\frac{a _{0}}{2} + \sum_{n \geq 1} (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$ を書く（偶関数なら $b_{n} = 0$ 、奇関数なら $a_{n} = 0$ ）。
代入する点 $x_{0}$ を選び、周期的に拡張した関数がそこで連続か跳びがあるかを調べる。区間の端 $x_{0} = \pm π$ では $f (π - 0)$ と $f (- π + 0)$ を比べる。
級数の値を $\frac{f ( x _{0} + 0 ) + f ( x _{0} - 0 )}{2}$ とおく（連続なら $f (x_{0})$ ）。
得られた等式から、求めたい級数について解く。

例題

$f (x) = x^{2}$ （ $- π \leq x < π$ ）を周期 $2 π$ に拡張した関数のフーリエ級数を用いて、 $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{2}}$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $f$ は各周期の中で $C^{1}$ 級で、 $f (π - 0) = π^{2} = f (- π + 0)$ なので周期的に拡張しても連続、区分的に $C^{1}$ 級である。

手順 2: $f$ は偶関数なので $b_{n} = 0$ 。 $a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} d x = \frac{2 π ^{2}}{3}$ 。 $n \geq 1$ では部分積分を 2 回行って $a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x^{2} cos n x d x = \frac{2}{π} [\frac{x ^{2} s i n n x}{n} + \frac{2 x c o s n x}{n ^{2}} - \frac{2 s i n n x}{n ^{3}}]_{0}^{π} = \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ 。よって $x^{2} \sim \frac{π ^{2}}{3} + 4 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} cos n x .$

手順 3: $x_{0} = 0$ を代入する。 $f$ は $0$ で連続。

手順 4: 級数の値は $f (0) = 0$ なので $0 = \frac{π ^{2}}{3} + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ 。

手順 5: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = - \frac{π ^{2}}{12}$ より、 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{12}$ 。

答え: $\frac{π ^{2}}{12}$

よくある誤り

跳びのある点でも級数の値を $f (x_{0})$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{f ( x _{0} + 0 ) + f ( x _{0} - 0 )}{2}$ 。例えば $f (x) = x$ （ $- π < x < π$ ）の展開 $x \sim 2 \sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin n x$ に $x = π$ を代入すると、右辺の級数は各項が $sin nπ = 0$ なので $0$ になる。これは左辺の $x$ の値 $π$ ではなく、 $\frac{f ( π - 0 ) + f ( π + 0 )}{2} = \frac{π + ( - π )}{2} = 0$ に一致する。
区間の端 $x = \pm π$ で、周期的に拡張したときの跳びを見落とす誤り。正しくは $f (π - 0)$ と $f (- π + 0)$ が異なれば端は跳びの点。例えば $f (x) = e^{x}$ （ $- π < x < π$ ）では、フーリエ級数の $x = π$ での値は $\frac{e ^{π} + e ^{- π}}{2}$ であり、 $e^{π}$ ではない。
定数項を $a_{0}$ のまま使ってしまう誤り。正しくは $a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f d x$ と定めたとき定数項は $\frac{a _{0}}{2}$ 。 $x^{2}$ の例では定数項は $\frac{π ^{2}}{3}$ で、 $\frac{2 π ^{2}}{3}$ ではない（これは $f$ の平均値 $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} x^{2} d x$ と一致する）。
$cos a x$ の展開で $a$ が整数の場合を除き忘れる誤り。正しくは $a$ が整数でないとき $cos a x = \frac{s i n π a}{π} (\frac{1}{a} + \sum_{n \geq 1} (- 1)^{n} \frac{2 a}{a ^{2} - n ^{2}} cos n x)$ （ $- π \leq x \leq π$ ）で、 $a$ が整数だと $a^{2} - n^{2} = 0$ となる項が生じ、 $x = π$ を代入して $sin π a$ で割る操作もできない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $- π < x \leq π$ で
$f (x) = {0 x (- π < x < 0) (0 \leq x \leq π)$
と定め、これを周期 $2 π$ で $R$ 全体に拡張した関数を同じ記号 $f$ で表す。 $f$ のフーリエ級数を
$\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x), a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x, b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x$
とする。区分的に $C^{1}$ 級の周期関数のフーリエ級数は各点 $x$ で $\frac{f ( x + 0 ) + f ( x - 0 )}{2}$ に収束することを用いてよい。このフーリエ級数に $x = π$ を代入することにより、無限級数
$S = m = 0 \sum \infty \frac{1}{( 2 m + 1 ) ^{2}}$
の値を求めよ。ただし $m$ は $0$ 以上の整数を動く。

フーリエ級数の各点収束と級数の値

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題