フーリエ解析の問題

$f\in L^1(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 上のフーリエ・プランシュレル変換に拡張する。このとき、$f,g\in L^2(\mathbb{R})$ に対してパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。

$g(x)=\frac{1}{\cosh x}$ のフーリエ変換 $\hat{g}$ を求め、パーセバルの等式を用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x\cosh x}dx$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。答えは $\arctan$ と $e$ と $\pi$ を用いた閉じた形で表せ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 全体へ連続に拡張したもの（プランシュレル変換）も $\hat{f}$ と書く。次の事実は用いてよい。

• （プランシュレルの定理）任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して ${\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi =2\pi {\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx$ が成り立ち、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ から $L^2(\mathbb{R})$ への全単射である。さらに、$\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ ならば、ほとんどすべての $x\in \mathbb{R}$ で $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ が成り立つ。
• ${\left\{\frac{e^{in\xi }}{\sqrt{2\pi }}\right\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ は $L^2([-\pi ,\pi ])$ の完全正規直交系である。

いま、$f$ は $\mathbb{R}$ 上の複素数値連続関数で $f\in L^2(\mathbb{R})$ を満たし、さらにそのフーリエ変換 $\hat{f}$ は $[-\pi ,\pi ]$ の外でほとんど至るところ $0$ であるとする。このとき
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|f(n){|}^2$$
が成り立つ（右辺の級数は収束する）ことを証明せよ。

$a$ を整数でない実数とする。次の事実は用いてよい。

（事実）$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が周期 $2\pi$ の連続関数で、区間 $[-\pi ,\pi ]$ を有限個の閉区間に分けると各閉区間上で $C^1$ 級（端点では片側微分係数を考える）であるとき、$F$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(x)\sin nxdx$$
はすべての $x\in \mathbb{R}$ で $F(x)$ に収束する。

このとき、関数 $x\mapsto \cos ax$ $(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ級数を用いて、級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a}{a^2-n^2}$ が収束し、
$$\pi \cot \pi a=\frac{1}{a}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a}{a^2-n^2}$$
が成り立つことを証明せよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx$ で定める。次の事実（プランシュレルの定理）は用いてよい。

（事実）$L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ は $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であり、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ 全体から $L^2(\mathbb{R})$ への線形写像に一意的に連続拡張される（拡張したものも $\hat{f}$ と書く）。この拡張は任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して $\Vert \hat{f}{\Vert }_2^2=2\pi \Vert f{\Vert }_2^2$ を満たす。ここで $\Vert g{\Vert }_2={\left({\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^2\right)}^{1/2}$ である。

$f\in L^2(\mathbb{R})$ と実数 $h$ に対して $f_h(x)=f(x+h)$ とおく。このとき、すべての $h\in \mathbb{R}$ について
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|e^{ih\xi }-1{|}^2|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi$$
が成り立ち、特に $\underset{h\to 0}{\lim }\Vert f_h-f{\Vert }_2=0$ であることを証明せよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。このときパーセバルの等式 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$ が成り立つ。これを用いて、積分
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin 2\xi }{\xi (1+{\xi }^2)}d\xi$$
の値を求めよ。