フーリエ解析の問題

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 全体へ連続に拡張したもの（プランシュレル変換）も $\hat{f}$ と書く。次の事実は用いてよい。

• （プランシュレルの定理）任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して ${\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi =2\pi {\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx$ が成り立ち、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ から $L^2(\mathbb{R})$ への全単射である。さらに、$\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ ならば、ほとんどすべての $x\in \mathbb{R}$ で $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ が成り立つ。
• ${\left\{\frac{e^{in\xi }}{\sqrt{2\pi }}\right\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ は $L^2([-\pi ,\pi ])$ の完全正規直交系である。

いま、$f$ は $\mathbb{R}$ 上の複素数値連続関数で $f\in L^2(\mathbb{R})$ を満たし、さらにそのフーリエ変換 $\hat{f}$ は $[-\pi ,\pi ]$ の外でほとんど至るところ $0$ であるとする。このとき
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|f(n){|}^2$$
が成り立つ（右辺の級数は収束する）ことを証明せよ。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ を周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数とし、
$${\int }_0^{2\pi }f(t)dt=0$$
を満たすとする。整数 $n$ に対して $f$ のフーリエ係数を $c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)e^{-int}dt$ で定める。

このとき、すべての実数 $x$ に対して
$$|f(x){|}^2\le \frac{\pi }{6}{\int }_0^{2\pi }|f^{\prime }(t){|}^{2}dt$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 周期 $2\pi$ の連続関数 $g$ とそのフーリエ係数 $d_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }g(t)e^{-int}dt$ について、パーセバルの等式 $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|g(t){|}^{2}dt=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|d_n{|}^2$ が成り立つ。
- 周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数 $f$ について、すべての実数 $x$ で $f(x)=\underset{M\to \infty }{\lim }\sum _{n=-M}^M{c}_n{e}^{inx}$ が成り立つ。
- $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。このときパーセバルの等式 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$ が成り立つ。これを用いて、積分
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin 2\xi }{\xi (1+{\xi }^2)}d\xi$$
の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を $$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$ で定める。関数 $f(x)=x{e}^{-|x|}$ のフーリエ変換 $\hat{f}$ を求め、プランシュレルの等式を用いて、広義積分 $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\xi }^2}{(1+{\xi }^2{)}^4}d\xi$$ の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。この規約では、$f,g\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対してプランシュレルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。また、区間 $[-1,1]$ の指示関数 $1_{[-1,1]}$ と関数 $e^{-|x|}$ について
$$\widehat{1_{[-1,1]}}(\xi )=\frac{2\sin \xi }{\xi },\widehat{e^{-|x|}}(\xi )=\frac{2}{1+{\xi }^2}$$
である（$\xi =0$ では左の式の値は $2$ とする）。これらを用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \xi }{\xi (1+{\xi }^2)}d\xi$$
の値を求めよ。ただし被積分関数の $\xi =0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。