ヒルベルト空間と射影定理

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx,\Vert f\Vert =\sqrt{⟨f,f⟩}$$ で考える。部分空間 $$M=\left\{g\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xg(x)dx=0\right\}$$ をとり、定数関数 $f(x)=1$ とする。$f$ と $M$ との距離 $$d=\underset{g\in M}{\inf }\Vert f-g\Vert$$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で考える。部分空間
$$M=\left\{f\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xf(x)dx=0\right\}$$
を考える。$f$ が $M$ 全体を動くときの
$${\int }_0^1{\left(e^x-f(x)\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ において、$1$ 次以下の多項式全体のなす部分空間を $V=\{a+bx:a,b\in \mathbb{R}\}$ とする。関数 $f(x)=x^3$ と $V$ との距離の $2$ 乗
$$D=\underset{a,b\in \mathbb{R}}{\min }{\int }_0^1{\left(x^3-a-bx\right)}^{2}dx$$
を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$（内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$）を考える。実数 $a,b$ を動かすとき、
$${\int }_0^1{\left(\sqrt{x}-a-bx\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$ を内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n\overline{y_n}$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。閉部分空間
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0\right\}$$
と、$u_n=\frac{1}{n}(n=1,2,3,\dots )$ で定まるベクトル $u=(u_n{)}_{n\ge 1}\in {\ell }^2$ をとる。$u$ と $M$ との距離 $d=\underset{x\in M}{\inf }\Vert u-x\Vert$ を求めよ。

実ヒルベルト空間 $${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$ を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を $$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0,x_1=x_2\right\}$$ で定め、$e_1=(1,0,0,\dots )$ とする。$e_1$ と $M$ との距離 $$d=\underset{y\in M}{\inf }\Vert e_1-y\Vert$$ について、$d^2$ の値を求めよ。

実ヒルベルト空間
$${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$
を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{n}=0,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}_n}{n}=0\right\}$$
で定め、$y=(y_n{)}_{n\ge 1}$ を $y_n=\frac{1}{2^n}$ とする。このとき
$$d^2=\underset{x\in M}{\inf }\Vert y-x{\Vert }^2$$
の値を求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ とし、$dA$ を $\mathbb{C}\cong {\mathbb{R}}^2$ 上のルベーグ測度とする。$\mathbb{D}$ 上の正則関数 $f$ で
$$\Vert f{\Vert }^2=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{D}}|f(z){|}^{2}dA(z)<\infty$$
をみたすもの全体を $A^2(\mathbb{D})$ とする（ベルグマン空間）。これは内積 $⟨f,g⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{D}}f(z)\overline{g(z)}dA(z)$ により複素ヒルベルト空間になる。
部分空間
$$M=\left\{f\in A^2(\mathbb{D}):f\left(\frac{1}{2}\right)=0,f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0\right\}$$
を考え、$g(z)=z$ とする。$g$ と $M$ との距離
$$\mathrm{dist}(g,M)=\underset{f\in M}{\inf }\Vert g-f\Vert$$
を求めよ。

実ソボレフ空間 $H^1(0,1)$ を、$f\in L^2(0,1)$ でその弱導関数 $f^{\prime }$ も $L^2(0,1)$ に属するもの全体とし（各 $f$ は $[0,1]$ 上の絶対連続な代表元と同一視する）、内積
$$⟨f,g⟩={\int }_0^1(f(x)g(x)+f^{\prime }(x)g^{\prime }(x))dx$$
によって実ヒルベルト空間とみなす。閉部分空間
$$M=\{f\in H^1(0,1):f(0)=f(1)=0\}$$
と関数 $g(x)=1+x^2$ に対し、$g$ と $M$ との距離の 2 乗
$$d^2=\underset{f\in M}{\inf }\Vert g-f{\Vert }^2=\underset{f\in M}{\inf }{\int }_0^1\left(\right(g(x)-f(x){)}^2+(g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x){)}^2)dx$$
を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底とし、答えは $e$ を用いて表せ。

$H$ を $\{0\}$ でない複素ヒルベルト空間とし、$B(H)$ を $H$ 上の有界線形作用素全体、$\Vert \cdot \Vert$ を作用素ノルム、$T^{\ast }$ を $T$ の共役作用素とする。$T\in B(H)$ が $T^2=0$ を満たすとき、
$$\Vert T+T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 任意の $T\in B(H)$ に対し $\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{T}^{\ast }\Vert =\Vert T{\Vert }^2$。
- 自己共役作用素 $S\in B(H)$ に対し $\Vert S^2\Vert =\Vert S{\Vert }^2$。
- $A\in B(H)$ に対し $\ker A^{\ast }=(\mathrm{ran}A{)}^{\perp }$。