関数解析の問題

$M$ の直交補空間. $a_n=\frac{1}{n}$, $b_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ とおくと、$\sum 1/n^2<\infty$ より $a,b\in {\ell }^2$ である。よって $x\mapsto ⟨x,a⟩$, $x\mapsto ⟨x,b⟩$ はコーシー・シュワルツの不等式により有界線形汎関数であり（特に定義の級数は絶対収束する）、$M=\{a,b{\}}^{\perp }$ は閉部分空間である。したがって $M^{\perp }=\overline{\mathrm{span}\{a,b\}}=\mathrm{span}\{a,b\}$（有限次元部分空間は閉）。

距離を射影で表す. 射影定理より ${\ell }^2=M\oplus M^{\perp }$ であり、$y=P_{M}y+P_{M^{\perp }}y$ と分解できる。$x\in M$ に対し $y-x=(P_{M}y-x)+P_{M^{\perp }}y$ で、$P_{M}y-x\in M$, $P_{M^{\perp }}y\in M^{\perp }$ は直交するから
$$\Vert y-x{\Vert }^2=\Vert P_{M}y-x{\Vert }^2+\Vert P_{M^{\perp }}y{\Vert }^2.$$
これは $x=P_{M}y$ のとき最小となり
$$d^2=\Vert P_{M^{\perp }}y{\Vert }^2.$$
（$y$ から $M$ への距離は、$y$ の $M^{\perp }$ 成分の長さである。）

直交基底をとる. $p=\frac{a-b}{2}$, $q=\frac{a+b}{2}$ とおくと
$$p_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n}& (n\text{ 奇数})\\ 0& (n\text{ 偶数})\end{array},q_n=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ 奇数})\\ \frac{1}{n}& (n\text{ 偶数})\end{array}$$
で、$p,q$ は台が交わらないので $⟨p,q⟩=0$、かつ $\mathrm{span}\{p,q\}=\mathrm{span}\{a,b\}$。
$$\Vert q{\Vert }^2=\sum _{k\ge 1}\frac{1}{(2k{)}^2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=\frac{{\pi }^2}{24},\Vert p{\Vert }^2=\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{{\pi }^2}{24}=\frac{{\pi }^2}{8}.$$

内積の計算. $|t|<1$ で $-\log (1-t)={\sum }_{n\ge 1}\frac{t^n}{n}$ である。これと $t$ を $-t$ に置き換えた式 $-\log (1+t)={\sum }_{n\ge 1}\frac{(-t{)}^n}{n}$ の差と和をとって 2 で割ると
$$\sum _{n\text{ 奇数}}\frac{t^n}{n}=\frac{1}{2}\log \frac{1+t}{1-t},\sum _{n\text{ 偶数}}\frac{t^n}{n}=-\frac{1}{2}\log (1-t^2).$$
$t=\frac{1}{2}$ として
$$⟨y,p⟩=\sum _{n\text{ 奇数}}\frac{1}{n{2}^n}=\frac{1}{2}\log 3,⟨y,q⟩=\sum _{n\text{ 偶数}}\frac{1}{n{2}^n}=-\frac{1}{2}\log \frac{3}{4}=\frac{1}{2}\log \frac{4}{3}.$$

射影のノルム. $p,q$ は直交するので
$$\Vert P_{M^{\perp }}y{\Vert }^2=\frac{⟨y,p{⟩}^2}{\Vert p{\Vert }^2}+\frac{⟨y,q{⟩}^2}{\Vert q{\Vert }^2}=\frac{(\log 3{)}^2/4}{{\pi }^2/8}+\frac{(\log \frac{4}{3}{)}^2/4}{{\pi }^2/24}=\frac{2(\log 3{)}^2+6(\log \frac{4}{3}{)}^2}{{\pi }^2}.$$

結論.
$$d^2=\frac{2(\log 3{)}^2+6{\left(\log \frac{4}{3}\right)}^2}{{\pi }^2}=\frac{8\left(3(\log 2{)}^2-3\log 2\log 3+(\log 3{)}^2\right)}{{\pi }^2}(\approx 0.295).$$
なお $\Vert y{\Vert }^2={\sum }_{n\ge 1}{4}^{-n}=\frac{1}{3}$ であり、$d^2\le \Vert y{\Vert }^2$（$x=0\in M$ と比べた評価）とも整合している。

$a_n=1/n,b_n=(-1{)}^n/n$ とおくと $a,b\in {\ell }^2$ で、$M=\{a,b{\}}^{\perp }$ である。$a,b$ は一次独立なので、$M$ は閉部分空間であり、$d^2=\Vert Py{\Vert }^2$ となる。ここで $P$ は $\mathrm{span}\{a,b\}$ への直交射影である。

内積を計算する。
$⟨a,a⟩=\sum 1/n^2={\pi }^2/6$、$⟨b,b⟩={\pi }^2/6$、$⟨a,b⟩=\sum (-1{)}^n/n^2=-{\pi }^2/12$。
$⟨y,a⟩=\sum (1/2{)}^n/n=\log 2=:p$、$⟨y,b⟩=\sum (-1/2{)}^n/n=-\log (3/2)=\log (2/3)=:q$。

グラム行列は $G=\frac{{\pi }^2}{12}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ で、その逆行列は $G^{-1}=\frac{4}{{\pi }^2}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ である。

よって
$d^2=c^T{G}^{-1}c=\frac{4}{{\pi }^2}(2p^2+2pq+2q^2)=\frac{8}{{\pi }^2}(p^2+pq+q^2)$。

$p=\log 2$、$q=\log 2-\log 3$ を代入すると
$p^2+pq+q^2=3{\log }^{2}2-3\log 2\log 3+{\log }^{2}3$。

したがって $d^2=\frac{8}{{\pi }^2}(3{\log }^{2}2-3\log 2\log 3+{\log }^{2}3)$。

検算として、数値は $p=0.6931$、$q=-0.4055$ で $p^2+pq+q^2=0.4805-0.2811+0.1644=0.3638$ となる。これより $d^2\approx 0.295$ である。一方 $\Vert y{\Vert }^2=1/3\approx 0.333$ なので、$d^2\le \Vert y{\Vert }^2$ と整合する。