関数解析の問題

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（ノルムは $\Vert x\Vert =({\sum }_{n\ge 1}|x_n{|}^2{)}^{1/2}$）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{n+1}=w_n{x}_n(n\ge 1),w_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が奇数})\\ \frac{1}{9}& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ とスペクトル半径 $r(T)$ を、組 $(\Vert T\Vert ,r(T))$ の形でこの順に求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（ノルムは $\Vert x\Vert =({\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2{)}^{1/2}$）上の重み付き右シフト作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{k+1}=w_k{x}_k(k=1,2,3,\dots )$$
で定める。ここで重みは
$$w_k=\{\begin{array}{ll}4& (k\text{ が奇数}),\\ 1& (k\text{ が偶数})\end{array}$$
とする。$T$ は有界線形作用素である。$T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（添字は $n=1,2,3,\dots$）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_n=a_n{x}_{n-1}(n\ge 2),a_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が偶数})\\ 1& (n\text{ が奇数})\end{array}$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ とスペクトル半径 $r(T)$ を、この順に組 $(\Vert T\Vert ,r(T))$ で求めよ。

実ヒルベルト空間 $${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$ を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を $$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0,x_1=x_2\right\}$$ で定め、$e_1=(1,0,0,\dots )$ とする。$e_1$ と $M$ との距離 $$d=\underset{y\in M}{\inf }\Vert e_1-y\Vert$$ について、$d^2$ の値を求めよ。

有界な複素数列 $x=(x_k{)}_{k\ge 1}$ 全体のなす複素バナッハ空間 ${\ell }^{\infty }$ を、ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\sup }_{k\ge 1}|x_k|$ で考える。作用素 $T:{\ell }^{\infty }\to {\ell }^{\infty }$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{k+1}=\frac{3(k+1)}{k}{x}_k(k=1,2,3,\dots )$$
で定める（重み $w_k=\frac{3(k+1)}{k}$ 付きの右シフト）。$T$ は有界線形作用素である。$T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を求めよ。