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関数解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学関数解析

有界な複素数列 $x = (x_{k})_{k \geq 1}$ 全体のなす複素バナッハ空間 $ℓ^{\infty}$ を、ノルム $∥ x ∥_{\infty} = sup_{k \geq 1} ∣ x_{k} ∣$ で考える。作用素 $T : ℓ^{\infty} \to ℓ^{\infty}$ を
$(T x)_{1} = 0, (T x)_{k + 1} = \frac{3 ( k + 1 )}{k} x_{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$
で定める（重み $w_{k} = \frac{3 ( k + 1 )}{k}$ 付きの右シフト）。 $T$ は有界線形作用素である。 $T$ のスペクトル半径 $r (T)$ を求めよ。

この問題で使うもの

スペクトルとスペクトル半径（説明と入口の問題）
有界線形作用素と作用素ノルム（説明と入口の問題）
数列の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

スペクトル半径の公式 $r (T) = lim_{m \to \infty} ∥ T^{m} ∥^{1/ m}$ を使う。まず $T^{m}$ がどのような作用素になるかを調べよう。

ヒント 2

$T^{m}$ は第 $k$ 成分を第 $k + m$ 成分へ移し、係数 $\prod_{j = k}^{k + m - 1} \frac{3 ( j + 1 )}{j}$ を掛ける。この積は分子と分母が打ち消し合う。

ヒント 3

係数は $3^{m} \cdot \frac{k + m}{k}$ となり、 $k = 1$ のとき最大で、 $∥ T^{m} ∥ = 3^{m} (m + 1)$ である。あとは $(m + 1)^{1/ m}$ の極限を考える。

答えと解説

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3

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解説を読む

スペクトル半径の公式（ゲルファントの公式）
$r (T) = m \to \infty lim ∥ T^{m} ∥^{1/ m}$
を使う。そのために $∥ T^{m} ∥$ を計算する。

手順 1： $T^{m}$ の形を求める。 $T$ は第 $k$ 成分に $w_{k} = \frac{3 ( k + 1 )}{k}$ を掛けて第 $k + 1$ 成分へ移す。これを $m$ 回繰り返すと、第 $k$ 成分は第 $k + m$ 成分へ移り、係数 $w_{k} w_{k + 1} \dots w_{k + m - 1}$ が掛かる。すなわち
$(T^{m} x)_{j} = 0 (1 \leq j \leq m), (T^{m} x)_{k + m} = c_{k, m} x_{k} (k \geq 1),$
$c_{k, m} = j = k \prod k + m - 1 \frac{3 ( j + 1 )}{j} = 3^{m} \cdot \frac{k + 1}{k} \cdot \frac{k + 2}{k + 1} \dots \frac{k + m}{k + m - 1} = 3^{m} \cdot \frac{k + m}{k} .$
（分子と分母が順に打ち消し合う。）

手順 2： $∥ T^{m} ∥$ を求める。 $c_{k, m} = 3^{m} (1 + \frac{m}{k})$ は $k$ について減少するので、 $sup_{k} c_{k, m} = c_{1, m} = 3^{m} (m + 1)$ 。
任意の $x \in ℓ^{\infty}$ に対し
$∥ T^{m} x ∥_{\infty} = k \geq 1 sup c_{k, m} ∣ x_{k} ∣ \leq 3^{m} (m + 1) ∥ x ∥_{\infty} .$
一方、 $x = e_{1} = (1, 0, 0, \dots)$ とすると $∥ e_{1} ∥_{\infty} = 1$ 、 $∥ T^{m} e_{1} ∥_{\infty} = c_{1, m} = 3^{m} (m + 1)$ となり等号が成り立つ。よって
$∥ T^{m} ∥ = 3^{m} (m + 1) .$
特に $∥ T ∥ = 6$ である。

手順 3：公式に代入する。
$∥ T^{m} ∥^{1/ m} = 3 (m + 1)^{1/ m} .$
ここで $lo g (m + 1)^{1/ m} = \frac{lo g ( m + 1 )}{m} \to 0 (m \to \infty)$ なので $(m + 1)^{1/ m} \to 1$ 。したがって
$r (T) = m \to \infty lim 3 (m + 1)^{1/ m} = 3.$

作用素ノルム $∥ T ∥ = 6$ よりスペクトル半径 $3$ の方が小さいことに注意する。重み $w_{k}$ は最初こそ大きい（ $w_{1} = 6$ ）が、 $k \to \infty$ で $3$ に近づき、何回も掛け合わせたときの「平均的な増え方」は $3$ 倍になるからである。

答え： $r (T) = 3$

別解

$T^{n}$ を具体的に計算する。 $(T^{n} x)_{j} = 0 (j \leq n)$ 、 $(T^{n} x)_{k + n} = w_{k} w_{k + 1} \dots w_{k + n - 1} x_{k} (k \geq 1)$ である。

ここで
$w_{k} \dots w_{k + n - 1} = 3^{n} j = k \prod k + n - 1 \frac{j + 1}{j} = 3^{n} \cdot \frac{k + n}{k}$
と望遠鏡的に積が計算できる。

$ℓ^{\infty}$ 上の重み付きシフトの作用素ノルムは重みの絶対値の上限に等しい。よって
$∥ T^{n} ∥ = k \geq 1 sup 3^{n} (1 + \frac{n}{k}) = 3^{n} (n + 1) (k = 1 で最大)$
である。

ゆえに
$r (T) = n \to \infty lim ∥ T^{n} ∥^{1/ n} = n \to \infty lim 3 (n + 1)^{1/ n} = 3$
となる。

検算： $n = 1$ では $∥ T ∥ = sup_{k} 3 (k + 1) / k = 6 = 3 \cdot 2$ で、上の式と一致する。また $(n + 1)^{1/ n} \to 1$ である。

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