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関数解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学関数解析

閉区間 $[0, 1]$ 上の複素数値連続関数全体のなす複素バナッハ空間 $C ([0, 1])$ を考え、上限ノルム $∥ f ∥_{\infty} = max_{0 \leq x \leq 1} ∣ f (x) ∣$ を入れる。作用素 $T : C ([0, 1]) \to C ([0, 1])$ を
$(T f) (x) = (1 + 3 x) f (1 - x) (f \in C ([0, 1]), x \in [0, 1])$
で定める。 $T$ は有界線形作用素である。 $T$ の作用素ノルム $∥ T ∥$ とスペクトル半径 $r (T)$ を、この順に組 $(∥ T ∥, r (T))$ として求めよ。

この問題で使うもの

有界線形作用素と作用素ノルム（説明と入口の問題）
スペクトルとスペクトル半径（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ノルムは重み関数 $1 + 3 x$ の上限で上から押さえ、定数関数で等号を確かめる。スペクトル半径は $T$ の累乗を調べる。

ヒント 2

$x \mapsto 1 - x$ を 2 回合成すると恒等写像になるので、 $T^{2}$ はある連続関数による掛け算作用素になる。

ヒント 3

$(T^{2} f) (x) = (1 + 3 x) (4 - 3 x) f (x)$ となる。掛け算作用素のノルムは関数の上限ノルムに等しいことと、ゲルファントの公式 $r (T) = lim ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ を偶数番目で使う。

答えと解説

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(4, \frac{5}{2})

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解説を読む

$w (x) = 1 + 3 x$ とおくと $(T f) (x) = w (x) f (1 - x)$ である。

作用素ノルム. 任意の $f$ と $x \in [0, 1]$ に対し
$∣ (T f) (x) ∣ = ∣ w (x) ∣ ∣ f (1 - x) ∣ \leq [0, 1] max ∣ w ∣ \cdot ∥ f ∥_{\infty} = 4∥ f ∥_{\infty}$
なので $∥ T ∥ \leq 4$ 。一方 $f \equiv 1$ とすると $∥ f ∥_{\infty} = 1$ 、 $(T f) (x) = 1 + 3 x$ で $∥ T f ∥_{\infty} = 4$ 。よって $∥ T ∥ = 4$ 。

スペクトル半径. $T^{2}$ を計算すると
$(T^{2} f) (x) = w (x) (T f) (1 - x) = w (x) w (1 - x) f (1 - (1 - x)) = g (x) f (x),$
ただし
$g (x) = w (x) w (1 - x) = (1 + 3 x) (4 - 3 x) = 4 + 9 x - 9 x^{2} .$
つまり $T^{2}$ は連続関数 $g$ による掛け算作用素 $M_{g}$ である。したがって $m \geq 1$ に対し $T^{2 m} = M_{g}^{m} = M_{g^{m}}$ であり、掛け算作用素のノルムは $∥ M_{h} ∥ = ∥ h ∥_{\infty}$ （上と同様に、 $\leq$ は明らか、 $f \equiv 1$ で等号）だから
$∥ T^{2 m} ∥ = ∥ g^{m} ∥_{\infty} = ∥ g ∥_{\infty}^{m} .$
ここで $g (x) = 4 + 9 x - 9 x^{2} = \frac{25}{4} - 9 (x - \frac{1}{2})^{2}$ は $[0, 1]$ 上で正であり、最大値は $x = \frac{1}{2}$ における $\frac{25}{4}$ 。よって $∥ g ∥_{\infty} = \frac{25}{4}$ 。

ゲルファントのスペクトル半径公式 $r (T) = lim_{n \to \infty} ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ において、極限が存在するので部分列 $n = 2 m$ に沿って計算してよく、
$r (T) = m \to \infty lim ∥ T^{2 m} ∥^{1/ (2 m)} = ∥ g ∥_{\infty}^{1/2} = \frac{25}{4} = \frac{5}{2} .$
（別解：スペクトル写像定理より $σ (T^{2}) = {λ^{2} : λ \in σ (T)}$ 、また $σ (M_{g}) = g ([0, 1]) = [4, \frac{25}{4}]$ なので $r (T)^{2} = r (T^{2}) = \frac{25}{4}$ 。）

以上より $(∥ T ∥, r (T)) = (4, \frac{5}{2})$ 。

別解

$w (x) = 1 + 3 x$ とおくと $(T f) (x) = w (x) f (1 - x)$ である。

【作用素ノルム】 $∣ (T f) (x) ∣ = ∣ w (x) ∣∣ f (1 - x) ∣ \leq max ∣ w ∣ ∥ f ∥_{\infty} = 4∥ f ∥_{\infty}$ より $∥ T ∥ \leq 4$ である。 $f \equiv 1$ とすると $T f = w$ で $∥ T f ∥_{\infty} = 4 = 4∥ f ∥_{\infty}$ となる。よって $∥ T ∥ = 4$ である。

【スペクトル半径】 $(T^{2} f) (x) = w (x) (T f) (1 - x) = w (x) w (1 - x) f (x)$ となる。したがって $T^{2}$ は関数 $m (x) = w (x) w (1 - x) = (1 + 3 x) (4 - 3 x) = 4 + 9 x - 9 x^{2}$ をかける作用素である。 $m$ は $x = 1/2$ で最大値 $4 + 9/2 - 9/4 = 25/4$ をとる。また $m (0) = m (1) = 4$ なので、 $m$ の値域は $[4, 25/4]$ である。

かけ算作用素のスペクトルは関数の値域に一致するから、 $r (T^{2}) = 25/4$ である。一般に $r (T^{2}) = r (T)^{2}$ なので、 $r (T) = 25/4 = 5/2$ となる。

【検算】 $∥ T^{2 k} ∥^{1/ (2 k)} = (25/4)^{k / (2 k)} = 5/2$ となり、極限 $r (T) = lim ∥ T^{n} ∥^{1/ n} = 5/2$ と一致する。

答え: $(∥ T ∥, r (T)) = (4, 5/2)$

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