関数解析の問題

$\phi (x)=x^2-x$ とおく。$\phi$ は $[0,2]$ 上連続で $|\phi (x)|\le 2$ なので $\Vert Tf\Vert \le 2\Vert f\Vert$ であり、$T$ は有界線形作用素である。

$\phi$ の値域. $\phi (x)={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$ なので、$[0,2]$ 上の最小値は $\phi \left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$、最大値は $\phi (2)=2$。連続なので値域は $\phi ([0,2])=\left[-\frac{1}{4},2\right]$。

$\lambda \notin \left[-\frac{1}{4},2\right]$ のとき. 値域は閉集合なので $d=\mathrm{dist}\left(\lambda ,\left[-\frac{1}{4},2\right]\right)>0$ で、すべての $x$ で $|\phi (x)-\lambda |\ge d$。$\psi =\frac{1}{\phi -\lambda }$ は $|\psi |\le \frac{1}{d}$ をみたす有界可測関数で、$(Sf)(x)=\psi (x)f(x)$ は $\Vert S\Vert \le \frac{1}{d}$ の有界作用素、$S(T-\lambda I)=(T-\lambda I)S=I$。よって $\lambda \notin \sigma (T)$。

$\lambda \in \left[-\frac{1}{4},2\right]$ のとき. $\lambda =\phi (x_0)$ となる $x_0\in [0,2]$ がある。$\epsilon >0$ に対し $E_{\epsilon }=\{x\in [0,2]\mid |\phi (x)-\lambda |<\epsilon \}$ は、$\phi$ の連続性から $x_0$ を含む $[0,2]$ の相対開集合なので、ルベーグ測度 $|E_{\epsilon }|>0$。
$$f_{\epsilon }=\frac{1}{\sqrt{|E_{\epsilon }|}}{\chi }_{E_{\epsilon }}$$
とおくと $\Vert f_{\epsilon }\Vert =1$ で
$$\Vert (T-\lambda I)f_{\epsilon }{\Vert }^2=\frac{1}{|E_{\epsilon }|}{\int }_{E_{\epsilon }}|\phi (x)-\lambda {|}^{2}dx\le {\epsilon }^2.$$
もし $T-\lambda I$ が有界な逆 $R$ をもてば $1=\Vert f_{\epsilon }\Vert =\Vert R(T-\lambda I)f_{\epsilon }\Vert \le \Vert R\Vert \epsilon$ がすべての $\epsilon >0$ で成り立つことになり矛盾。よって $\lambda \in \sigma (T)$。

以上より
$$\sigma (T)=\left[-\frac{1}{4},2\right].$$

$T$ は連続関数 $\phi (x)=x^2-x$ による掛け算作用素である。このとき $\sigma (T)$ は $\phi$ の本質的値域（ルベーグ測度に関する）に等しい。$\phi$ は $[0,2]$ 上連続なので本質的値域は値域の閉包 $\phi ([0,2])$ に一致する（任意の開区間の逆像は空でなければ正測度の開集合）。

$\phi (x)=(x-1/2{)}^2-1/4$。$[0,2]$ 上で最小値は $x=1/2$ のとき $-1/4$。端点の値は $\phi (0)=0$、$\phi (2)=2$ で、最大値は $2$。連続関数の中間値の定理より値域は $[-1/4,2]$。

直接確認: $\lambda \notin [-1/4,2]$ なら $1/(\phi -\lambda )$ が $[0,2]$ 上で有界連続なので $T-\lambda I$ は有界逆をもつ。$\lambda \in [-1/4,2]$ なら、$\phi (x_0)=\lambda$ となる $x_0$ をとり、$x_0$ の周りの小区間の正規化した指示関数 $f_k$ に対して $\Vert (T-\lambda )f_k\Vert \to 0$（$\Vert f_k\Vert =1$）となるので有界逆をもたない。よって $\sigma (T)=[-1/4,2]$。