関数解析の問題

手順 1（コンパクト性と像の確認） 核 $K(x,y)=1+xy$ は $[0,1{]}^2$ 上で連続なので $K\in L^2([0,1{]}^2)$ となり、$T$ はヒルベルト・シュミット作用素、とくにコンパクト作用素である。さらに
$$(Tf)(x)={\int }_0^{1}f(y)dy+x{\int }_0^{1}yf(y)dy$$
と書けるので、$T$ の像は $\mathrm{span}\{1,x\}$ に含まれる（階数 $2$ 以下の有限階作用素）。

手順 2（固有関数の形を決める） $Tf=\lambda f$, $\lambda \ne 0$, $f\ne 0$ とすると $f=\frac{1}{\lambda }Tf\in \mathrm{span}\{1,x\}$ だから、$f(x)=\alpha +\beta x$ とおける。

手順 3（行列の固有値問題に帰着）
$${\int }_0^{1}f(y)dy=\alpha +\frac{\beta }{2},{\int }_0^{1}yf(y)dy={\int }_0^1(\alpha y+\beta y^2)dy=\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{3}$$
より
$$Tf=(\alpha +\frac{\beta }{2})+(\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{3})x.$$
$1,x$ は一次独立なので、$Tf=\lambda f$ は
$$\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$$
と同値である。

手順 4（特性方程式を解く）
$$\det \left(\begin{array}{cc}1-\lambda & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}-\lambda \end{array}\right)=(1-\lambda )(\frac{1}{3}-\lambda )-\frac{1}{4}={\lambda }^2-\frac{4}{3}\lambda +\frac{1}{12}=0.$$
両辺を $12$ 倍して $12{\lambda }^2-16\lambda +1=0$。解の公式より
$$\lambda =\frac{16\pm \sqrt{256-48}}{24}=\frac{16\pm 4\sqrt{13}}{24}=\frac{4\pm \sqrt{13}}{6}.$$
$\sqrt{13}<4$ なので両方とも $0$ でなく、それぞれに対応する $(\alpha ,\beta )\ne (0,0)$ が存在して $f=\alpha +\beta x$ が固有関数になる。

よって $0$ でない固有値は $\frac{4+\sqrt{13}}{6},\frac{4-\sqrt{13}}{6}$ である。（検算：和 $=\frac{4}{3}$ は行列のトレース、積 $=\frac{16-13}{36}=\frac{1}{12}$ は行列式に一致する。）

核 $k(x,y)=1+xy$ は有限階数なので、$T$ の値域は $\mathrm{span}\{1,x\}$ に含まれる。したがって $0$ でない固有値は、この 2 次元空間への制限の固有値である。

$f=a+bx$ に対して
$$Tf={\int }_0^1(1+xy)(a+by)dy=\left(a+\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{3}\right)x.$$
基底 $\{1,x\}$ に関する表現行列は
$$\left(\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1/3\end{array}\right).$$

トレースは $4/3$、行列式は $1/3-1/4=1/12$ である。よって固有方程式は
$${\lambda }^2-\frac{4}{3}\lambda +\frac{1}{12}=0,\text{すなわち}12{\lambda }^2-16\lambda +1=0.$$
これを解くと
$$\lambda =\frac{16\pm \sqrt{256-48}}{24}=\frac{16\pm 4\sqrt{13}}{24}=\frac{4\pm \sqrt{13}}{6}.$$

確認：2 つの解の和は $8/6=4/3$、積は $(16-13)/36=1/12$ で、トレース・行列式と一致する。どちらの解も正で $0$ でない。

$0$ でない固有値は $T$ の値域内の固有ベクトルに対応するので、答えはこの 2 つである。