関数解析の問題

$T$ は有界な核 $K(x,y)=1(y<x),-2(y>x)$ をもつ積分作用素なのでヒルベルト・シュミット作用素、特にコンパクトである。よって $\sigma (T)$ は $0$ と $0$ でない固有値からなり、$r(T)$ は固有値の絶対値の上限である。

固有値方程式. $\lambda \ne 0$、$Tf=\lambda f$ とする。右辺 $Tf$ は連続なので $f={\lambda }^{-1}Tf$ は連続、さらに $Tf$ は $C^1$ となり $f$ も $C^1$。微分すると
$$\lambda f^{\prime }(x)=f(x)+2f(x)=3f(x)⟹f(x)=C{e}^{3x/\lambda }.$$
境界での値は
$$\lambda f(0)=-2{\int }_0^{1}f,\lambda f(1)={\int }_0^{1}f$$
なので $f(0)=-2f(1)$（$C\ne 0$）、すなわち
$$e^{3/\lambda }=-\frac{1}{2}.$$
逆にこれを満たせば ${\int }_0^{1}f=C\frac{\lambda }{3}\left(e^{3/\lambda }-1\right)=-\frac{C\lambda }{2}=\lambda f(1)$ となり、元の積分方程式が成り立つ（微分した式と $x=1$ での一致から全区間で一致）。

固有値. $e^{3/\lambda }=-\frac{1}{2}$ の解は
$$\frac{3}{\lambda }=-\log 2+(2k+1)\pi i(k\in \mathbb{Z}),{\lambda }_k=\frac{3}{-\log 2+(2k+1)\pi i}.$$
$|{\lambda }_k|=\frac{3}{\sqrt{(\log 2{)}^2+(2k+1{)}^2{\pi }^2}}$ は $|2k+1|=1$（$k=0,-1$）のとき最大で、${\lambda }_k\to 0$。

よって
$$r(T)=\frac{3}{\sqrt{{\pi }^2+(\log 2{)}^2}}.$$
（$T$ は正規作用素ではないので、これは $\Vert T\Vert$ とは一般に異なる。）

$F(x)={\int }_0^{x}f(y)dy$ とおくと $Tf=F-2(F(1)-F)=3F(x)-2F(1)$。$T$ は積分作用素で核が有界なのでヒルベルト・シュミット型のコンパクト作用素であり、$\sigma (T)=\{0\}\cup \{\text{固有値}\}$。

固有値 $\lambda \ne 0$ を考える。$\lambda f=3F-2F(1)$ の右辺は絶対連続なので $f$ も連続（$C^1$）で、微分して $\lambda f^{\prime }=3f$、$f=C{e}^{3x/\lambda }$ ($C\ne 0$)。$x=0$ で $\lambda f(0)=-2F(1)$、すなわち $\lambda C=-2F(1)$。$F(1)=\frac{C\lambda }{3}\left(e^{3/\lambda }-1\right)$ なので
$$1=-\frac{2}{3}\left(e^{3/\lambda }-1\right)⟺e^{3/\lambda }=-\frac{1}{2}.$$
逆にこの $\lambda$ で $f=e^{3x/\lambda }$ は固有関数になる（微分方程式と $x=0$ の条件から元の式が回復する）。

$\frac{3}{\lambda }=-\log 2+i(2k+1)\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)、よって
$${\lambda }_k=\frac{3}{-\log 2+i(2k+1)\pi },|{\lambda }_k|=\frac{3}{\sqrt{(\log 2{)}^2+(2k+1{)}^2{\pi }^2}}.$$
最大は $k=0,-1$ のとき: $r(T)=\frac{3}{\sqrt{{\pi }^2+(\log 2{)}^2}}$。

検算: 値は約 $3/3.217\approx 0.93$。$\Vert T\Vert$ の粗い上界 ($|3F-2F(1)|$ の核の HS ノルム $\sqrt{9/2+\cdots }$ 程度) より小さく矛盾しない。また ${\lambda }_0$ について $e^{3/{\lambda }_0}=e^{-\log 2+i\pi }=-\frac{1}{2}$ を確認済み。